![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Характерная особенность неоднородной квадратичной двойственности (отличающая ее от однородного варианта) состоит в том, что выбор пространства образующих, в которых та или иная ассоциативная алгебра задается неоднородными квадратичными/кошулевыми соотношениями, в значительной степени произволен. Как минимум, два полярных случая привлекают внимание.
С одной стороны, примечательно, когда некоторая алгебра может быть задана неоднородными кошулевыми соотношениями, наложенными на конечное множество/конечномерное пространство образующих. С другой стороны, всякая ассоциативная алгебра является неоднородной кошулевой алгеброй по отношению к пространству образующих, совпадающему со всей алгеброй.
Те же явления имеют место в более сложной относительной версии неоднородной квадратичной двойственности, с той разницей, что там появляется дополнительное требование плоскости/проективности пространства образующих/компонент фильтрации как модулей над базовым кольцом (= нулевой компонентой). В частности, в классическом примере кольца дифференциальных операторов D(X) на гладком аффинном многообразии X (скажем для простоты, характеристики ноль) c базовым подкольцом функций O(X) ⊂ D(X), на кольце D(X) имеются две естественные неоднородные кошулевы фильтрации.
Можно принять за FnD(X) ⊂ D(X) подпространство дифференциальных операторов порядка не выше n. Это классический подход, сопоставляющий фильтрованному кольцу дифференциальных операторов кошулево двойственную к нему DG-алгебру де Рама Ω(X) дифференциальных форм на X. Можно, с другой стороны, положить F0D(X) = O(X) и FnD(X) = D(X) при всех n ≥ 1. Тогда кошулево двойственной DG-алгеброй к кольцу дифференциальных операторов оказывается пополнение приведенного комплекса Амицура.
Определение комплекса Амицура ассоциативной алгебры A над полем k можно найти в постинге http://posic.livejournal.com/1185120.html ; приведенный комплекс Амицура обсуждается в постинге http://posic.livejournal.com/1185291.html . В частности, в случае, когда алгебра A коммутативна и конечно порождена, т.е., является алгеброй функций на аффинном многообразии X над полем k, члены комплекса Амицура алгебры A суть пространства функций на декартовых степенях Xn+1 = X ×k X ×k … ×k X многообразия X.
Пополненный комплекс Амицура получается заменой пространства функций на Xn+1 пространством функций на аффинной формальной схеме -- пополнении Xn+1 вдоль главной диагонали X ⊂ Xn+1. Пополнение приведенного комплекса Амицура проще всего определить как подкомплекс в пополненном комплексе Амицура, состоящий из всех формальных функций f(x0,x1,...,xn), зануляющихся при подстановке любой (n+1)-ки переменных, из которых какие-то две соседних равны между собой.
Чтобы определить топологию на пополненном (приведенном) комплексе Амицура, нужно сначала понять, что такое вообще топология на градуированном векторном пространстве или кольце. Об этом записано в замечании в разделе 4.4 мемуара "Two kinds of derived categories..." Топологическое градуированное векторное пространство (с линейной топологией) -- не есть просто градуированный объект в категории топологических векторных пространств.
Грубо говоря, в структуру топологического градуированного векторного пространства входит знание о том, что значит, что семейство последовательностей векторов, заданных в каждой градуировочной компоненте такого векторного пространства, сходится к нулю равномерно по всем компонентам. Более формально, задание топологии на градуированной абелевой группе означает информацию о том, какие ее градуированные подгруппы объявляются открытыми.
Обозначим через Gp градуированное подпространство в (неприведенном, пополненном) комплексе Амицура, n-я градуировочная компонента которого есть p-я степень идеала функций на Xn+1, зануляющихся на главной диагонали. Символически, Gp состоит из всех функций f(x0,...,xn), для которых выражение f(x+ε0, x+ε1, ..., x+εn) делится на p-ю степень идеала, порожденного ε0, ..., εn. Нетрудно убедиться, что подпространства Gp образуют мультипликативную убывающую фильтрацию на комплексе Амицура, сохраняемую дифференциалом, т.е. d(Gp) ⊂ Gp и GpGq ⊂ Gp+q.
По определению, градуированные подпространства Gp образуют базу топологии на комплексе Амицура, которая нас интересует. Базу топологии на приведенном комплексе Амицура образуют пересечения подпространств Gp с приведенным комплексом Амицура. Нетрудно проверить, что подпространство Gp целиком содержит n-ю компоненту градуировки приведенного комплекса Амицура при n ≥ p.
Когда аффинное многообразие X гладко, производная относительная неоднородная кошулева двойственность в общности, в которой она изложена в главе 11 полубесконечной монографии, должна влечь эквивалентность между копроизводной категорией дискретных DG-модулей над приведенным пополненным комплексом Амицура, контрапроизводной категорией DG-контрамодулей над ним, и (обычной неограниченной) производной категорией D(X)-модулей. Хотелось бы отождествить копроизводную категорию дискретных DG-модулей и/или контрапроизводную категории DG-контрамодулей над приведенным пополненным комплексом Амицура негладкого аффинного многообразия X с производной категорией абелевой категории D-модулей на X.
С одной стороны, примечательно, когда некоторая алгебра может быть задана неоднородными кошулевыми соотношениями, наложенными на конечное множество/конечномерное пространство образующих. С другой стороны, всякая ассоциативная алгебра является неоднородной кошулевой алгеброй по отношению к пространству образующих, совпадающему со всей алгеброй.
Те же явления имеют место в более сложной относительной версии неоднородной квадратичной двойственности, с той разницей, что там появляется дополнительное требование плоскости/проективности пространства образующих/компонент фильтрации как модулей над базовым кольцом (= нулевой компонентой). В частности, в классическом примере кольца дифференциальных операторов D(X) на гладком аффинном многообразии X (скажем для простоты, характеристики ноль) c базовым подкольцом функций O(X) ⊂ D(X), на кольце D(X) имеются две естественные неоднородные кошулевы фильтрации.
Можно принять за FnD(X) ⊂ D(X) подпространство дифференциальных операторов порядка не выше n. Это классический подход, сопоставляющий фильтрованному кольцу дифференциальных операторов кошулево двойственную к нему DG-алгебру де Рама Ω(X) дифференциальных форм на X. Можно, с другой стороны, положить F0D(X) = O(X) и FnD(X) = D(X) при всех n ≥ 1. Тогда кошулево двойственной DG-алгеброй к кольцу дифференциальных операторов оказывается пополнение приведенного комплекса Амицура.
Определение комплекса Амицура ассоциативной алгебры A над полем k можно найти в постинге http://posic.livejournal.com/1185120.html ; приведенный комплекс Амицура обсуждается в постинге http://posic.livejournal.com/1185291.html . В частности, в случае, когда алгебра A коммутативна и конечно порождена, т.е., является алгеброй функций на аффинном многообразии X над полем k, члены комплекса Амицура алгебры A суть пространства функций на декартовых степенях Xn+1 = X ×k X ×k … ×k X многообразия X.
Пополненный комплекс Амицура получается заменой пространства функций на Xn+1 пространством функций на аффинной формальной схеме -- пополнении Xn+1 вдоль главной диагонали X ⊂ Xn+1. Пополнение приведенного комплекса Амицура проще всего определить как подкомплекс в пополненном комплексе Амицура, состоящий из всех формальных функций f(x0,x1,...,xn), зануляющихся при подстановке любой (n+1)-ки переменных, из которых какие-то две соседних равны между собой.
Чтобы определить топологию на пополненном (приведенном) комплексе Амицура, нужно сначала понять, что такое вообще топология на градуированном векторном пространстве или кольце. Об этом записано в замечании в разделе 4.4 мемуара "Two kinds of derived categories..." Топологическое градуированное векторное пространство (с линейной топологией) -- не есть просто градуированный объект в категории топологических векторных пространств.
Грубо говоря, в структуру топологического градуированного векторного пространства входит знание о том, что значит, что семейство последовательностей векторов, заданных в каждой градуировочной компоненте такого векторного пространства, сходится к нулю равномерно по всем компонентам. Более формально, задание топологии на градуированной абелевой группе означает информацию о том, какие ее градуированные подгруппы объявляются открытыми.
Обозначим через Gp градуированное подпространство в (неприведенном, пополненном) комплексе Амицура, n-я градуировочная компонента которого есть p-я степень идеала функций на Xn+1, зануляющихся на главной диагонали. Символически, Gp состоит из всех функций f(x0,...,xn), для которых выражение f(x+ε0, x+ε1, ..., x+εn) делится на p-ю степень идеала, порожденного ε0, ..., εn. Нетрудно убедиться, что подпространства Gp образуют мультипликативную убывающую фильтрацию на комплексе Амицура, сохраняемую дифференциалом, т.е. d(Gp) ⊂ Gp и GpGq ⊂ Gp+q.
По определению, градуированные подпространства Gp образуют базу топологии на комплексе Амицура, которая нас интересует. Базу топологии на приведенном комплексе Амицура образуют пересечения подпространств Gp с приведенным комплексом Амицура. Нетрудно проверить, что подпространство Gp целиком содержит n-ю компоненту градуировки приведенного комплекса Амицура при n ≥ p.
Когда аффинное многообразие X гладко, производная относительная неоднородная кошулева двойственность в общности, в которой она изложена в главе 11 полубесконечной монографии, должна влечь эквивалентность между копроизводной категорией дискретных DG-модулей над приведенным пополненным комплексом Амицура, контрапроизводной категорией DG-контрамодулей над ним, и (обычной неограниченной) производной категорией D(X)-модулей. Хотелось бы отождествить копроизводную категорию дискретных DG-модулей и/или контрапроизводную категории DG-контрамодулей над приведенным пополненным комплексом Амицура негладкого аффинного многообразия X с производной категорией абелевой категории D-модулей на X.
