Еще немного о редукции коэффициентов в мотивах Артина-Тейта

Пусть k -- полное нетерово локальное кольцо, G ⊃ H -- проконечная группа с замкнутой нормальной подгруппой, и с: G → k* -- непрерывный (в адической топологии кольца k) мультипликативный характер. Мы продолжаем пользоваться обозначениями A_k⁺, E_k,0⁺ и E_k,i⁺, и F_k⁺ для точных категорий из предыдущей серии постингов и препринта 1404.5011, связанных с этим набором данных.

Пусть s и t ∈ k -- два не делящих ноль, необратимых элемента. Согласно одному из первых результатов постинга http://posic.livejournal.com/1001187.html , ставшему теперь предложением 3.12 в препринте, естественный точный функтор из редуцированной категории в категорию с редуцированными коэффициентами F_k⁺/s → F_k/s⁺ заведомо является вполне строгим (индуцирует изоморфизмы на группах Ext⁰ и мономорфизмы на Ext¹). Соответственно, то же относится к функтору F_k⁺/st → F_k/st⁺.

Между точными категориями F_k/st⁺ и F_k/s⁺ действует точный функтор F_k/st⁺ → F_k/s⁺, сопоставляющий фильтрованному инъективному дискретному k/st-модулю N с дискретным действием G инъективный дискретный k/s-модуль _sN (элементов в N, аннулируемых s) с индуцированной фильтрацией и индуцированным действием G. Утверждается, что этот функтор переводит объекты полной подкатегории F_k⁺/st ⊂ F_k/st⁺ в объекты полной подкатегории F_k⁺/s ⊂ F_k/s⁺.

В самом деле -- согласно конструкции обратного функтора из доказательства эквивалентности категорий A_k⁺/s → A_k/s⁺ в постинге http://posic.livejournal.com/1000410.html (ныне предложение 3.3 в препринте) -- фильтрованный модуль (N,F) ∈ F_k/st⁺ принадлежит F_k⁺/st тогда и только тогда, когда его можно вложить, как дискретный k-модуль с действием G, в подходящий фильтрованный модуль (М,F) ∈ F_k⁺, строго согласованным с фильтрацией образом и так, что индуцированные вложения на присоединенных факторах по фильтрации после перехода к подмодулям аннулируемых st элементов становятся допустимыми мономорфизмами в расщепимых точных категориях E_k/st,i⁺. (Часть "только тогда" очевидна, а для доказательства "тогда" полезно еще отметить, что согласно лемме 3.4(b) из препринта, всякий допустимый мономорфизм в категории E_k/st,i⁺ можно поднять/расширить до допустимого мономорфизма в E_k,i⁺.)

Теперь если имеется вложение (N,F) → (M,F) фильтрованных дискретных k-модулей над G, обладающее перечисленными свойствами, то ими обладает и композиция (_sN,F) → (N,F) → (M,F). Утверждение доказано.

Еще немного о редукции коэффициентов в мотивах Артина-Тейта - 2

Пусть k -- полное кольцо дискретного нормирования, l ∈ k -- униформизующий элемент, G ⊃ H -- проконечная группа с замкнутой нормальной подгруппой, и c: G → k* -- непрерывный мультипликативный характер, редукция которого c mod l: G → k/l аннулирует H. Попробуем доказать что-нибудь в направлении следующего утверждения.

Теорема 3. Предположим, что основная гипотеза выполняется для точной категории Fk/l и отображения ExtAk+1(X,Y) → ExtAk/l+1(X/l,Y/l) сюръективны для всех X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,1. Тогда естественный точный функтор Fk+/l → Fk/l+ является эквивалентностью точных категорий.

Ввиду предположения о редукции характера и основной гипотезы для точной категории Fk/l, "большое градуированное кольцо" ExtAk/ln(X/l,Y/l(m)), X,Y ∈ Ek,0, n ≤ m порождается классами, связанными с n=0, m=1 и n=m=1. [В частности, отсюда следует, что сюръективны отображения ExtAk+n(X,Y) → ExtAk/l+n(X/l,Y/l) для всех X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,n, n≥0, и более того, точны последовательности

ExtAk+n(X,Y) → ExtAk+n(X,Y) → ExtAk/l+n(X/l,Y/l) → 0

для X ∈ E_k,0 и Y ∈ E_k,n, где первое отображение является умножением на l (ввиду длинной точной последовательности Бокштейна для редукции категории A_k⁺).] Вернемся теперь к гомоморфизму из длинной точной последовательности

ExtFk+n(X,Y) → ExtFk+n(X,Y) → ExtFk+/ln(X/l,Y/l) → ExtFk+n+1(X,Y) →

в длинную точную последовательность

ExtAk+n(X,Y) → ExtAk+n(X,Y) → ExtAk+/ln(X/l,Y/l) → ExtAk+n+1(X,Y) →

для всех X ∈ Ek,0+ и Y ∈ Ek,m+, обсуждавшемуся в первом приближении в постинге http://posic.livejournal.com/1000832.html . Поскольку мы знаем, что отображения HomFk+/l(X/l,Y/l) → HomAk/l+(X/l,Y/l) и ExtFk+1(X,Y) → ExtAk+1(X,Y) сюръективны при X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,1, из сказанного выше следует сюръективность отображений ExtFk+/ln(X/l,Y/l) → HomAk/l+n(X/l,Y/l) для всех X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,m при n≤m.

(Продолжение следует.)