![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть k -- полное кольцо дискретного нормирования, l ∈ k -- униформизующий элемент, G ⊃ H -- проконечная группа с замкнутой нормальной подгруппой, и c: G → k* -- непрерывный мультипликативный характер, редукция которого c mod l: G → k/l аннулирует H. Попробуем доказать что-нибудь в направлении следующего утверждения.
Теорема 3. Предположим, что основная гипотеза выполняется для точной категории Fk/l и отображения ExtAk+1(X,Y) → ExtAk/l+1(X/l,Y/l) сюръективны для всех X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,1. Тогда естественный точный функтор Fk+/l → Fk/l+ является эквивалентностью точных категорий.
Ввиду предположения о редукции характера и основной гипотезы для точной категории Fk/l, "большое градуированное кольцо" ExtAk/ln(X/l,Y/l(m)), X,Y ∈ Ek,0, n ≤ m порождается классами, связанными с n=0, m=1 и n=m=1. [В частности, отсюда следует, что сюръективны отображения ExtAk+n(X,Y) → ExtAk/l+n(X/l,Y/l) для всех X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,n, n≥0, и более того, точны последовательности
ExtAk+n(X,Y) → ExtAk+n(X,Y) → ExtAk/l+n(X/l,Y/l) → 0
для X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,n, где первое отображение является умножением на l (ввиду длинной точной последовательности Бокштейна для редукции категории Ak+).] Вернемся теперь к гомоморфизму из длинной точной последовательности
ExtFk+n(X,Y) → ExtFk+n(X,Y) → ExtFk+/ln(X/l,Y/l) → ExtFk+n+1(X,Y) →
в длинную точную последовательность
ExtAk+n(X,Y) → ExtAk+n(X,Y) → ExtAk+/ln(X/l,Y/l) → ExtAk+n+1(X,Y) →
для всех X ∈ Ek,0+ и Y ∈ Ek,m+, обсуждавшемуся в первом приближении в постинге http://posic.livejournal.com/1000832.html . Поскольку мы знаем, что отображения HomFk+/l(X/l,Y/l) → HomAk/l+(X/l,Y/l) и ExtFk+1(X,Y) → ExtAk+1(X,Y) сюръективны при X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,1, из сказанного выше следует сюръективность отображений ExtFk+/ln(X/l,Y/l) → HomAk/l+n(X/l,Y/l) для всех X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,m при n≤m.
(Продолжение следует.)
Теорема 3. Предположим, что основная гипотеза выполняется для точной категории Fk/l и отображения ExtAk+1(X,Y) → ExtAk/l+1(X/l,Y/l) сюръективны для всех X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,1. Тогда естественный точный функтор Fk+/l → Fk/l+ является эквивалентностью точных категорий.
Ввиду предположения о редукции характера и основной гипотезы для точной категории Fk/l, "большое градуированное кольцо" ExtAk/ln(X/l,Y/l(m)), X,Y ∈ Ek,0, n ≤ m порождается классами, связанными с n=0, m=1 и n=m=1. [В частности, отсюда следует, что сюръективны отображения ExtAk+n(X,Y) → ExtAk/l+n(X/l,Y/l) для всех X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,n, n≥0, и более того, точны последовательности
ExtAk+n(X,Y) → ExtAk+n(X,Y) → ExtAk/l+n(X/l,Y/l) → 0
для X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,n, где первое отображение является умножением на l (ввиду длинной точной последовательности Бокштейна для редукции категории Ak+).] Вернемся теперь к гомоморфизму из длинной точной последовательности
ExtFk+n(X,Y) → ExtFk+n(X,Y) → ExtFk+/ln(X/l,Y/l) → ExtFk+n+1(X,Y) →
в длинную точную последовательность
ExtAk+n(X,Y) → ExtAk+n(X,Y) → ExtAk+/ln(X/l,Y/l) → ExtAk+n+1(X,Y) →
для всех X ∈ Ek,0+ и Y ∈ Ek,m+, обсуждавшемуся в первом приближении в постинге http://posic.livejournal.com/1000832.html . Поскольку мы знаем, что отображения HomFk+/l(X/l,Y/l) → HomAk/l+(X/l,Y/l) и ExtFk+1(X,Y) → ExtAk+1(X,Y) сюръективны при X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,1, из сказанного выше следует сюръективность отображений ExtFk+/ln(X/l,Y/l) → HomAk/l+n(X/l,Y/l) для всех X ∈ Ek,0 и Y ∈ Ek,m при n≤m.
(Продолжение следует.)
