Еще немного о редукции коэффициентов в мотивах Артина-Тейта

[posic]

Пусть k -- полное нетерово локальное кольцо, G ⊃ H -- проконечная группа с замкнутой нормальной подгруппой, и с: G → k* -- непрерывный (в адической топологии кольца k) мультипликативный характер. Мы продолжаем пользоваться обозначениями A_k⁺, E_k,0⁺ и E_k,i⁺, и F_k⁺ для точных категорий из предыдущей серии постингов и препринта 1404.5011, связанных с этим набором данных.

Пусть s и t ∈ k -- два не делящих ноль, необратимых элемента. Согласно одному из первых результатов постинга http://posic.livejournal.com/1001187.html , ставшему теперь предложением 3.12 в препринте, естественный точный функтор из редуцированной категории в категорию с редуцированными коэффициентами F_k⁺/s → F_k/s⁺ заведомо является вполне строгим (индуцирует изоморфизмы на группах Ext⁰ и мономорфизмы на Ext¹). Соответственно, то же относится к функтору F_k⁺/st → F_k/st⁺.

Между точными категориями F_k/st⁺ и F_k/s⁺ действует точный функтор F_k/st⁺ → F_k/s⁺, сопоставляющий фильтрованному инъективному дискретному k/st-модулю N с дискретным действием G инъективный дискретный k/s-модуль _sN (элементов в N, аннулируемых s) с индуцированной фильтрацией и индуцированным действием G. Утверждается, что этот функтор переводит объекты полной подкатегории F_k⁺/st ⊂ F_k/st⁺ в объекты полной подкатегории F_k⁺/s ⊂ F_k/s⁺.

В самом деле -- согласно конструкции обратного функтора из доказательства эквивалентности категорий A_k⁺/s → A_k/s⁺ в постинге http://posic.livejournal.com/1000410.html (ныне предложение 3.3 в препринте) -- фильтрованный модуль (N,F) ∈ F_k/st⁺ принадлежит F_k⁺/st тогда и только тогда, когда его можно вложить, как дискретный k-модуль с действием G, в подходящий фильтрованный модуль (М,F) ∈ F_k⁺, строго согласованным с фильтрацией образом и так, что индуцированные вложения на присоединенных факторах по фильтрации после перехода к подмодулям аннулируемых st элементов становятся допустимыми мономорфизмами в расщепимых точных категориях E_k/st,i⁺. (Часть "только тогда" очевидна, а для доказательства "тогда" полезно еще отметить, что согласно лемме 3.4(b) из препринта, всякий допустимый мономорфизм в категории E_k/st,i⁺ можно поднять/расширить до допустимого мономорфизма в E_k,i⁺.)

Теперь если имеется вложение (N,F) → (M,F) фильтрованных дискретных k-модулей над G, обладающее перечисленными свойствами, то ими обладает и композиция (_sN,F) → (N,F) → (M,F). Утверждение доказано.