Резолюция

Я теперь уверенно занял положение человека, который понимает все обо всем и лучше всех, за исключением единственно того, чего я сам хочу от жизни. Среди математиков в своей области я чувствую себя черной дырой: то ли я опередил свое время на двадцать лет, то ли на пятьдесят, но в любом случае ему надо поторопиться, если оно хочет догнать меня при жизни. По-моему, оно ничего такого не хочет, и не надо ему тоже ничего.

Конечно, по нынешним временам неплохо было бы занимать положение, при котором я мог бы помочь кому-то там выбраться откуда-то и устроиться где-то там, и так далее. Это не может быть и не станет достаточной мотивацией для того, чтобы мне утром вставать с постели и идти на работу.

Переговоры с местными математиками показывают наличие спроса на то, чтобы найти какую-нибудь клеточку в табличке, куда можно вписать мою фамилию. Они не показывают интереса к моим математическим идеям или к того рода преподаванию, рассчитанному на высокомотивированные аудитории или высокомотивированные части наличных аудиторий и игнорирующему остальных, которым я занимался всю жизнь. Разговор ведется с позиции: "У нас здесь порядки такие." Ответом на это может быть только: "А я вам зачем нужен?"

Если собеседник настаивает, разговор закономерно переходит дальше в плоскость его попыток учить меня жить с позиций превосходства конформиста над недоумком -- и заканчивается необходимостью срочно выяснить вопрос, кто из нас двоих находится на своей, а кто на чужой территории, и кто, соответственно, должен немедленно ее покинуть. Если собеседник не настаивает, разговор исчерпывается, заканчиваясь ничем.

Я, со своей стороны, в отношении своего научного творчества нахожусь в состоянии бёрнаута, в лучшем случае, временного. Последним моим важным проектом в Москве был знаменитый "контра-семинар", где мы со студентами разбирали всякие контрамодульные и контрапроизводные штуки. В равной мере для меня и для студентов это было незачитываемым неоплачиваемым факультативом вне сетки расписания. Студентам нравилось, и они очень огорчались потом, когда это все скоро закончилось с моим отъездом (я, конечно, тоже).

Студенты имели на это силы -- наверное, по молодости; я -- потому что после катастрофически высокой нагрузки в осеннем семестре у меня была умеренная нагрузка в весеннем. Сама возможность собрать аудиторию для такого семинара упиралась в то, что я уже два с половиной года проработал на факультете чистой математики преподавателем курсов, адресованных и рассчитанных на чистых математиков. Никаких других курсов я там не вел и не читал (как не читал их и весь в целом факультет), при том, что нагрузка была немалая, в том числе, с большим количеством индивидуального общения преподавателей со студентами (и прежде всего, с младшекурсниками).

Положительными сторонами работы профессора в университетах, организованных по более стандартному "западному" формату, является а) теньюр; б) ограниченная, даже если в большей своей части малоосмысленная, преподавательская нагрузка; в) основанная на а) и б) возможность заниматься научной работой; включая в том числе г) руководство магистрантами и аспирантами. Пункт а) меня не привлекает, б) не для моего нравственного чувства и нервной системы, к в) меня все равно в последние месяцы уже не тянет, а для г), чтобы оно у меня имело смысл, нужны очень сильные, хорошо подготовленные и мотивированные до самоотверженности студенты, которых у меня сейчас не будет.

В этих условиях я не вижу смысла беспокоиться в настоящее время о поиске постоянной преподавательской работы.

Я хунвейбин (или Еще немного тщеславного поиска)

http://leolion-1.livejournal.com/656565.html?thread=9010869#t9010869

Изменивший родине хунвейбин. И пониженный за это в должности, а пуще того, в зарплате. С доцента обыкновенного до доцента в неоплачиваемом отпуске.

MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 11

Продолжение серии постингов http://posic.livejournal.com/1106295.html и т.д.

Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k.

Комодуль над коалгеброй C называется конечно копорожденным, если его можно вложить в прямую сумму конечного числа копий C-комодуля C (который называется косвободным C-комодулем с одной кообразующей). Коалгебра C конетерова слева, если всякий факторкомодуль конечно копорожденного левого C-комодуля конечно копорожден, или, что то же самое, всякий факторкомодуль левого C-комодуля C конечно копорожден. Например, всякая подкоалгебра коалгебры, двойственной алгеброй к которой является кольцо формальных степенных рядов от конечного числа коммутативных переменных, конетерова -- эта такая двойственная версия теоремы Гильберта о базисе.

Вопросы: эквивалентны ли условия левой и правой конетеровости для коалгебр над полем? Эквивалентна ли конетеровость коалгебры ее кокогерентности (определяемой очевидным образом формулой "всякий конечно копорожденный факторкомодуль конечно копредставимого комодуля конечно копредставим" или всякий конечно копорожденный факторкомодуль косвободного комодуля с одной кообразующей является ядром морфизма косвободных комодулей с конечным числом кообразующих)?

Лемма: пусть D -- подкоалгебра коалгебры C. Для любого левого C-комодуля M будем обозначать через _DM максимальный C-подкомодуль в M, чья структура C-комодуля происходит из структуры D-комодуля. Тогда

а) если M -- конечно копорожденный C-комодуль, то _DM -- конечно копорожденный D-комодуль;
б) в частности, прямая сумма бесконечного числа копий левого C-комодуля C не является конечно копорожденным C-комодулем (если коалгебра C ненулевая);
в) если факторкоалгебра без коединицы C/D конильпотентна (т.е., D содержит максимальную кополупростую подкоалгебру или, что то же самое, все копростые подкоалгебры в C) и _DM -- конечно копорожденный D-комодуль, то M -- конечно копорожденный C-комодуль.

Доказательство: а) очевидно, что для любого инъективного морфизма C-комодулей M → N, индуцированный морфизм D-комодулей _DM → _D N инъективен (вообще, функтор M → _DM точен слева), так что остается заметить естественный изоморфизм _D(C⊗_kV) = D⊗_kV для любого k-векторного пространства V.

б) Достаточно выбрать какую-нибудь ненулевую конечномерную подкоалгебру D ⊂ C и использовать естественный изоморфизм выше.

в) Для любой коассоциативной коалгебры D с коединицей, любого левого D-комодуля N, и любого k-векторного пространства V, гомоморфизм D-комодулей N → D⊗_kV однозначно определеяется своей композицией N → D⊗_kV → V с отображением, индуцированным отображением коединицы D → k, причем эта композиция может быть любым k-линейным отображением N → V. Пусть теперь N = _DM; продолжим отображение _DM → V произвольным образом до k-линейного отображения M → V, и рассмотрим соответствующий гомоморфизм C-комодулей M → C⊗_kV. Соответствующий гомоморфизм D-комодулей _DM → D⊗_kV и гомоморфизм C-комодулей M → C⊗_kV образуют коммутативный квадрат с естественными вложениями _DM → M и D⊗_kV → C⊗_kV.

Утверждается, что если гомоморфизм D-комодулей _DM → D⊗_kV инъективен и факторкоалгебра без коединицы C/D конильпотентна, то и гомоморфизм C-комодулей M → C⊗_kV инъективен. В самом деле, пусть K ⊂ M -- ядро последнего гомоморфизма; тогда _DK ⊂ K ∩ _DM = 0. Композиция K → C⊗_kK → C/D⊗_kK отображения C-кодействия на K с отображением, индуцированным естественной сюръекцией С → C/D, является теперь инъективным отображением, задающим структуру левого C/D-комодуля на K. Однако, ввиду конильпотентности C/D, всякий элемент из K аннулируется отображением итерированного кодействия K → C/D^⊗n⊗_kK для достаточно большого n. Полученное противоречие доказывает, что K = 0 (это такая "двойственная версия леммы Накаямы" для комодулей над коалгебрами над полями).