![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение серии постингов http://posic.livejournal.com/1106295.html и т.д.
Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k.
Комодуль над коалгеброй C называется конечно копорожденным, если его можно вложить в прямую сумму конечного числа копий C-комодуля C (который называется косвободным C-комодулем с одной кообразующей). Коалгебра C конетерова слева, если всякий факторкомодуль конечно копорожденного левого C-комодуля конечно копорожден, или, что то же самое, всякий факторкомодуль левого C-комодуля C конечно копорожден. Например, всякая подкоалгебра коалгебры, двойственной алгеброй к которой является кольцо формальных степенных рядов от конечного числа коммутативных переменных, конетерова -- эта такая двойственная версия теоремы Гильберта о базисе.
Вопросы: эквивалентны ли условия левой и правой конетеровости для коалгебр над полем? Эквивалентна ли конетеровость коалгебры ее кокогерентности (определяемой очевидным образом формулой "всякий конечно копорожденный факторкомодуль конечно копредставимого комодуля конечно копредставим" или всякий конечно копорожденный факторкомодуль косвободного комодуля с одной кообразующей является ядром морфизма косвободных комодулей с конечным числом кообразующих)?
Лемма: пусть D -- подкоалгебра коалгебры C. Для любого левого C-комодуля M будем обозначать через DM максимальный C-подкомодуль в M, чья структура C-комодуля происходит из структуры D-комодуля. Тогда
а) если M -- конечно копорожденный C-комодуль, то DM -- конечно копорожденный D-комодуль;
б) в частности, прямая сумма бесконечного числа копий левого C-комодуля C не является конечно копорожденным C-комодулем (если коалгебра C ненулевая);
в) если факторкоалгебра без коединицы C/D конильпотентна (т.е., D содержит максимальную кополупростую подкоалгебру или, что то же самое, все копростые подкоалгебры в C) и DM -- конечно копорожденный D-комодуль, то M -- конечно копорожденный C-комодуль.
Доказательство: а) очевидно, что для любого инъективного морфизма C-комодулей M → N, индуцированный морфизм D-комодулей DM → D N инъективен (вообще, функтор M → DM точен слева), так что остается заметить естественный изоморфизм D(C⊗kV) = D⊗kV для любого k-векторного пространства V.
б) Достаточно выбрать какую-нибудь ненулевую конечномерную подкоалгебру D ⊂ C и использовать естественный изоморфизм выше.
в) Для любой коассоциативной коалгебры D с коединицей, любого левого D-комодуля N, и любого k-векторного пространства V, гомоморфизм D-комодулей N → D⊗kV однозначно определеяется своей композицией N → D⊗kV → V с отображением, индуцированным отображением коединицы D → k, причем эта композиция может быть любым k-линейным отображением N → V. Пусть теперь N = DM; продолжим отображение DM → V произвольным образом до k-линейного отображения M → V, и рассмотрим соответствующий гомоморфизм C-комодулей M → C⊗kV. Соответствующий гомоморфизм D-комодулей DM → D⊗kV и гомоморфизм C-комодулей M → C⊗kV образуют коммутативный квадрат с естественными вложениями DM → M и D⊗kV → C⊗kV.
Утверждается, что если гомоморфизм D-комодулей DM → D⊗kV инъективен и факторкоалгебра без коединицы C/D конильпотентна, то и гомоморфизм C-комодулей M → C⊗kV инъективен. В самом деле, пусть K ⊂ M -- ядро последнего гомоморфизма; тогда DK ⊂ K ∩ DM = 0. Композиция K → C⊗kK → C/D⊗kK отображения C-кодействия на K с отображением, индуцированным естественной сюръекцией С → C/D, является теперь инъективным отображением, задающим структуру левого C/D-комодуля на K. Однако, ввиду конильпотентности C/D, всякий элемент из K аннулируется отображением итерированного кодействия K → C/D⊗n⊗kK для достаточно большого n. Полученное противоречие доказывает, что K = 0 (это такая "двойственная версия леммы Накаямы" для комодулей над коалгебрами над полями).
Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k.
Комодуль над коалгеброй C называется конечно копорожденным, если его можно вложить в прямую сумму конечного числа копий C-комодуля C (который называется косвободным C-комодулем с одной кообразующей). Коалгебра C конетерова слева, если всякий факторкомодуль конечно копорожденного левого C-комодуля конечно копорожден, или, что то же самое, всякий факторкомодуль левого C-комодуля C конечно копорожден. Например, всякая подкоалгебра коалгебры, двойственной алгеброй к которой является кольцо формальных степенных рядов от конечного числа коммутативных переменных, конетерова -- эта такая двойственная версия теоремы Гильберта о базисе.
Вопросы: эквивалентны ли условия левой и правой конетеровости для коалгебр над полем? Эквивалентна ли конетеровость коалгебры ее кокогерентности (определяемой очевидным образом формулой "всякий конечно копорожденный факторкомодуль конечно копредставимого комодуля конечно копредставим" или всякий конечно копорожденный факторкомодуль косвободного комодуля с одной кообразующей является ядром морфизма косвободных комодулей с конечным числом кообразующих)?
Лемма: пусть D -- подкоалгебра коалгебры C. Для любого левого C-комодуля M будем обозначать через DM максимальный C-подкомодуль в M, чья структура C-комодуля происходит из структуры D-комодуля. Тогда
а) если M -- конечно копорожденный C-комодуль, то DM -- конечно копорожденный D-комодуль;
б) в частности, прямая сумма бесконечного числа копий левого C-комодуля C не является конечно копорожденным C-комодулем (если коалгебра C ненулевая);
в) если факторкоалгебра без коединицы C/D конильпотентна (т.е., D содержит максимальную кополупростую подкоалгебру или, что то же самое, все копростые подкоалгебры в C) и DM -- конечно копорожденный D-комодуль, то M -- конечно копорожденный C-комодуль.
Доказательство: а) очевидно, что для любого инъективного морфизма C-комодулей M → N, индуцированный морфизм D-комодулей DM → D N инъективен (вообще, функтор M → DM точен слева), так что остается заметить естественный изоморфизм D(C⊗kV) = D⊗kV для любого k-векторного пространства V.
б) Достаточно выбрать какую-нибудь ненулевую конечномерную подкоалгебру D ⊂ C и использовать естественный изоморфизм выше.
в) Для любой коассоциативной коалгебры D с коединицей, любого левого D-комодуля N, и любого k-векторного пространства V, гомоморфизм D-комодулей N → D⊗kV однозначно определеяется своей композицией N → D⊗kV → V с отображением, индуцированным отображением коединицы D → k, причем эта композиция может быть любым k-линейным отображением N → V. Пусть теперь N = DM; продолжим отображение DM → V произвольным образом до k-линейного отображения M → V, и рассмотрим соответствующий гомоморфизм C-комодулей M → C⊗kV. Соответствующий гомоморфизм D-комодулей DM → D⊗kV и гомоморфизм C-комодулей M → C⊗kV образуют коммутативный квадрат с естественными вложениями DM → M и D⊗kV → C⊗kV.
Утверждается, что если гомоморфизм D-комодулей DM → D⊗kV инъективен и факторкоалгебра без коединицы C/D конильпотентна, то и гомоморфизм C-комодулей M → C⊗kV инъективен. В самом деле, пусть K ⊂ M -- ядро последнего гомоморфизма; тогда DK ⊂ K ∩ DM = 0. Композиция K → C⊗kK → C/D⊗kK отображения C-кодействия на K с отображением, индуцированным естественной сюръекцией С → C/D, является теперь инъективным отображением, задающим структуру левого C/D-комодуля на K. Однако, ввиду конильпотентности C/D, всякий элемент из K аннулируется отображением итерированного кодействия K → C/D⊗n⊗kK для достаточно большого n. Полученное противоречие доказывает, что K = 0 (это такая "двойственная версия леммы Накаямы" для комодулей над коалгебрами над полями).
