MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 5

Продолжение серии постингов http://posic.livejournal.com/1099805.html

Конструкция в духе параграфа 4.1 и предложения 6.10 из работы Dwyer-Greenlees, использующая тензорное произведение для построения комплексов модулей кручения и Hom для построения комплексов контрамодулей, представляется более подходящей для наших целей. Прежде чем перейти к деталям в интересующей нас сейчас ситуации, можно вспомнить уже известные конструкции функторов "наивного" и "не-наивного" ко-контра соответствия, прописанные в текущей (февральской архивной) версии контрагерентного препринта.

Во всех случаях, к комплексу контрамодулей или контрагерентных копучков применяется функтор контратензорного произведения, к комплексу модулей кручения или квазикогерентных пучков применяется функтор (контрагерентных) гомоморфизмов из некоторого фиксированного (одного и того же для функторов в обе стороны) конечного комплекса квазикогерентных пучков или модулей кручения. Вопрос в том, что это за комплекс пучков или модулей кручения, который нужно использовать в качестве ядра.

Вернемся для начала еще раз к обсуждению в первом постинге этой серии http://posic.livejournal.com/1094998.html . В перечисленных там общих ситуациях

- для полумодулей и полуконтрамодулей над полуалгеброй S над коалгеброй C, естественная эквивалентность полупроизводных категорий полумодулей и полуконтрамодулей задается функторами (полу)контратензорного произведения и полумодульных гомоморфизмов с полуалгеброй S, используемой в роли ядра
- для комодулей и контрамодулей над кокольцом C над кольцом конечной гомологической размерности, эквивалентность между копроизводной категорией комодулей и контрапроизводной категорией контрамодулей задается функторами контратензорного произведения и комодульных гомоморфизмов с кокольцом C, используемым в роли ядра
- для комодулей и контрамодулей над парой коколец над парой колец с дуализирующим комплексом, снабженным поднятием до комплекса бикомодулей, эквивалентность между ко- и контрапроизводными категориями задается функторами контратензорного произведения и комодульных гомоморфизмов с дуализирующим комплексом бикомодулей, используемым в роли ядра

Ближе к интересующему нас алгеброгеометрическому случаю, для построения ко-контра соответствий в разных вариантах в роли ядер для пар сопряженных функторов типа тензорных произведений/гомоморфизмов используются

- при "наивном" ко-контра соответствии в смысле эквивалентности между обычными/абсолютными производными категориями квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков на квазикомпактной полуотделимой/нетеровой схеме -- структурный квазикогерентный пучок
- при "не-наивном" ко-контра соответствии в смысле эквивалентности между копроизводной категорией квазикогерентных пучков и контрапроизводной категорией контрагерентных копучков на нетеровой схеме -- дуализирующий комплекс квазикогерентных пучков
- при "не-наивном" ко-контра соответствии в смысле эквивалентности между копроизводной категорией модулей кручения и контрапроизводной категорией контрамодулей над полным нетеровым кольцом -- дуализирующий комплекс модулей кручения

Впору заводить рубрику

под названием "Комические новости из мира российской науки". Вот, например, --

http://www.mi.ras.ru/smuis/2014/2014-09-03_zayavlenie_vozrast.pdf
http://flying-bear.livejournal.com/1889816.html и далее по ссылкам

MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 6

Продолжение серии постингов http://posic.livejournal.com/1100719.html

Перечисленные примеры ясно указывают на следующие элементарные случаи, комбинированием которых составляются более сложные возникающие в этих примерах ситуации:

- для построения эквивалентности между D(A-mod) и D(A-mod), для модулей над кольцом A, достаточно тождественного функтора, что означает использование самого кольца A в роли ядра в паре сопряженных функторов тензорного произведения и гомоморфизмов
- для построения эквивалентности между D^co(C-comod) и D^ctr(C-contra), для комодулей и контрамодулей над коалгеброй C над полем k (или кокольцом C над кольцом A конечной гомологической размерности), нужно использовать саму коалгебру/кокольцо C в роли ядра в паре сопряженных функторов контратензорного произведения и комодульных гомоморфизмов
- для построения эквивалентности между D^co(A-mod) и D^ctr(B-mod), для модулей над (нетеровыми некоммутативными) кольцами A и B, нужно использовать дуализирующий комплекс для пары колец (A,B) в роли ядра в паре сопряженных функторов тензорного произведения и гомоморфизмов

Это все давно известно, а неизвестным остается

- Как построить эквивалентность между D(C-comod) и D(D-contra), для пары некокоммутативных коалгебр C и D (скажем) над полем k, или даже эквивалентность между D(C-comod) и D(C-contra) для одной кокоммутативной коалгебры C над k?

Свойства категорий D(C-comod) и D(C-contra) обсуждались в разделах 2.4 и 5.5 мемуара Two kinds of derived categories ... (в окончательном виде -- в постпубликационной архивной версии), но установленная там связь между ними не имела вид эквивалентности категорий. В то же время, некоторые вполне нетривиальные примеры таких эквивалентностей для кокоммутативных коалгебр C содержатся в наших нынешних построениях.

Пусть x -- замкнутая точка на схеме конечного типа X над полем k; тогда формальное пополнение многообразия X в точке x является формальным спектром полной топологической k-алгебры, двойственной к кокоммутативной коалгебре C над k. Если при этом точка x ∈ X не гладкая, то коалгебра C имеет бесконечную гомологическую размерность. Эквивалентность между D(C-comod) и D(C-contra) в этой ситуации была построена уже во втором постинге этой серии -- http://posic.livejournal.com/1096155.html