![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение серии постингов http://posic.livejournal.com/1100719.html
Перечисленные примеры ясно указывают на следующие элементарные случаи, комбинированием которых составляются более сложные возникающие в этих примерах ситуации:
- для построения эквивалентности между D(A-mod) и D(A-mod), для модулей над кольцом A, достаточно тождественного функтора, что означает использование самого кольца A в роли ядра в паре сопряженных функторов тензорного произведения и гомоморфизмов
- для построения эквивалентности между Dco(C-comod) и Dctr(C-contra), для комодулей и контрамодулей над коалгеброй C над полем k (или кокольцом C над кольцом A конечной гомологической размерности), нужно использовать саму коалгебру/кокольцо C в роли ядра в паре сопряженных функторов контратензорного произведения и комодульных гомоморфизмов
- для построения эквивалентности между Dco(A-mod) и Dctr(B-mod), для модулей над (нетеровыми некоммутативными) кольцами A и B, нужно использовать дуализирующий комплекс для пары колец (A,B) в роли ядра в паре сопряженных функторов тензорного произведения и гомоморфизмов
Это все давно известно, а неизвестным остается
- Как построить эквивалентность между D(C-comod) и D(D-contra), для пары некокоммутативных коалгебр C и D (скажем) над полем k, или даже эквивалентность между D(C-comod) и D(C-contra) для одной кокоммутативной коалгебры C над k?
Свойства категорий D(C-comod) и D(C-contra) обсуждались в разделах 2.4 и 5.5 мемуара Two kinds of derived categories ... (в окончательном виде -- в постпубликационной архивной версии), но установленная там связь между ними не имела вид эквивалентности категорий. В то же время, некоторые вполне нетривиальные примеры таких эквивалентностей для кокоммутативных коалгебр C содержатся в наших нынешних построениях.
Пусть x -- замкнутая точка на схеме конечного типа X над полем k; тогда формальное пополнение многообразия X в точке x является формальным спектром полной топологической k-алгебры, двойственной к кокоммутативной коалгебре C над k. Если при этом точка x ∈ X не гладкая, то коалгебра C имеет бесконечную гомологическую размерность. Эквивалентность между D(C-comod) и D(C-contra) в этой ситуации была построена уже во втором постинге этой серии -- http://posic.livejournal.com/1096155.html
Перечисленные примеры ясно указывают на следующие элементарные случаи, комбинированием которых составляются более сложные возникающие в этих примерах ситуации:
- для построения эквивалентности между D(A-mod) и D(A-mod), для модулей над кольцом A, достаточно тождественного функтора, что означает использование самого кольца A в роли ядра в паре сопряженных функторов тензорного произведения и гомоморфизмов
- для построения эквивалентности между Dco(C-comod) и Dctr(C-contra), для комодулей и контрамодулей над коалгеброй C над полем k (или кокольцом C над кольцом A конечной гомологической размерности), нужно использовать саму коалгебру/кокольцо C в роли ядра в паре сопряженных функторов контратензорного произведения и комодульных гомоморфизмов
- для построения эквивалентности между Dco(A-mod) и Dctr(B-mod), для модулей над (нетеровыми некоммутативными) кольцами A и B, нужно использовать дуализирующий комплекс для пары колец (A,B) в роли ядра в паре сопряженных функторов тензорного произведения и гомоморфизмов
Это все давно известно, а неизвестным остается
- Как построить эквивалентность между D(C-comod) и D(D-contra), для пары некокоммутативных коалгебр C и D (скажем) над полем k, или даже эквивалентность между D(C-comod) и D(C-contra) для одной кокоммутативной коалгебры C над k?
Свойства категорий D(C-comod) и D(C-contra) обсуждались в разделах 2.4 и 5.5 мемуара Two kinds of derived categories ... (в окончательном виде -- в постпубликационной архивной версии), но установленная там связь между ними не имела вид эквивалентности категорий. В то же время, некоторые вполне нетривиальные примеры таких эквивалентностей для кокоммутативных коалгебр C содержатся в наших нынешних построениях.
Пусть x -- замкнутая точка на схеме конечного типа X над полем k; тогда формальное пополнение многообразия X в точке x является формальным спектром полной топологической k-алгебры, двойственной к кокоммутативной коалгебре C над k. Если при этом точка x ∈ X не гладкая, то коалгебра C имеет бесконечную гомологическую размерность. Эквивалентность между D(C-comod) и D(C-contra) в этой ситуации была построена уже во втором постинге этой серии -- http://posic.livejournal.com/1096155.html
