Про события на Украине, коротко

Разумеется, мои симпатии всецело на стороне майдановцев. В той мере, в которой развитие событий производит впечатление, что противники режима Януковича не побеждают сейчас, -- а оно, к сожалению, производит такое впечатление, -- меня это очень огорчает.

В то же время и прежде всего, разумеется, Украина является для меня независимой страной, и в этом смысле требовать и настаивать я могу только на том, чтобы российские силовые структуры в украинских событиях не участвовали, чего и требую и настаиваю.

Конечномерные теории кокручения

Пусть A -- точная категория, допустимые мономорфизмы и эпиморфизмы в которой мы будем называть просто "вложениями" и "сюръекциями"/"накрытиями"/... Пусть F и C -- два класса объектов в A, представителей которых мы будем называть "плоскими объектами" и "объектами кокручения". Допустим, что класс F замкнут относительно расширений в A, и всякий объект из A можно накрыть объектом из F.

Будем говорить, что объект Q из A имеет "коразмерность кокручения, большую или равную s", если существует конечная точная последовательность в A, в которой самый правый ненулевой объект равен Q, самый левый -- произвольный, а остальные, в количестве s штук, принадлежат C.

Лемма: предположим, что любой плоский объект в A можно вложить в плоский объект кокручения так, что факторобъект является плоским. Тогда всякий объект в A можно вложить в объект сколь угодно большой коразмерности кокручения так, что факторобъект будет плоским.

Доказательство: индукция по коразмерности кокручения s. Всякий объект имеет коразмерность кокручения не меньше нуля, так что база очевидна. Допустим, что мы уже научились вкладывать произвольный объект в объект коразмерности кокручения s с плоским фактором, и сделаем то же самое для коразмерности s+1.

Пусть X -- произвольный объект из A. Согласно предположению, существует сюръекция G → X, где объект G плоский. Обозначим ядро этого отображения через Y и вложим его в объект Q коразмерности кокручения не меньше s так, чтобы коядро H = Q/B было плоским. Пусть Е -- расслоенное копроизведение Q и G над Y; тогда объект E плоский как расширение объектов H и G, а ядро Q сюръективного отображения E → X имеет коразмерность кокручения не меньше s.

Вложим теперь плоский объект E в плоский объект кокручения P так, чтобы коядро D = P/E было плоским. Тогда коядро R = P/Q композиции Q → E → P является объектом коразмерности кокручения не меньше s+1. Объект X естественным образом вкладывается в R с коядром D. Лемма доказана. Заметим, что мы даже построили для нашего объекта R точную последовательность с s+1 средними членами слева от R, являющимися плоскими объектами кокручения.

Плоские контрамодули кокручения над пронетеровым топологическим кольцом?

Пусть R₀ ← R₁ ← R₂ ← … -- проективная система нетеровых коммутативных колец и сюръективных отображений между ними. Пусть R = lim_n R_n -- ее проективный предел, рассматриваемый как топологическое кольцо, и пусть I_n ⊂ R -- ядра естественных сюръективных гомоморфизмов R → R_n. Пусть F -- плоский R-контрамодуль; согласно разделу D.1 текущей версии контрагерентного текста (на positselski.narod.ru), это значит, что F = lim_n F_n, где F_n -- плоские R_n-модули и F_n+1 → F_n -- сюръективные отображения, отождествляющие F_n с R_n ⊗_Rn+1 F_n+1.

Как известно, плоские модули кокручения над нетеровым кольцом S суть в точности произведения по точкам спектра S свободных контрамодулей над пополнениями S_p^ локализаций S_p кольца S по соответствующим простым идеалам. Предлагается следующая конструкция функториального отображения плоского S-модуля G в плоский S-модуль кокручения: для каждого простого идеала p кольца S, взять естественное отображение из G в p-адическое пополнение G_p^ плоского S_p-модуля G_p = S_p ⊗_S G, потом перемножить по всем p.

Пользуясь известным фактом полноты стандартной теории кокручения в категории S-модулей, можно, наверное, показать, что отображение это (не лишенное, кажется, каких-то там свойств слабой универсальности) инъективно с плоским коядром. Далее предлагается попробовать собрать проективную систему плоских R_n-модулей кокручения из таких конструкций, примененных к R_n-модулю F_n для каждого n, и сделать из этого вложение нашего плоского R-контрамодуля F в плоский R-контрамодуль кокручения (в каком-то там смысле).

Update: в самом деле, из вышесформулированного описания плоских модулей кокручения над S ясно, что всякий гомоморфизм из плоского S-модуля G в такой S-модуль факторизуется через ∏_p G_p^. Чтобы убедиться, что отображение G → ∏_p G_p^ инъективно и коядро его является плоским S-модулем, рассмотрим естественное отображение G → Hom_Z(Hom_Z(G,Q/Z),Q/Z). S-модуль на правой стороне последнего отображения является плоским модулем кокручения, отображение это очевидно инъективно, и для любого конечно-порожденного S-модуля M отображение M ⊗_S G → M ⊗_S Hom_Z(Hom_Z(G,Q/Z),Q/Z) = Hom_Z(Hom_Z(M⊗_SG, Q/Z), Q/Z) тоже инъективно.

Теперь отображение G → Hom_Z(Hom_Z(G,Q/Z),Q/Z) факторизуется через отображение G → ∏_p G_p^, отсюда следует инъективность отображений M ⊗_S G → M ⊗_S ∏_p G_p^ для всех таких M. Поскольку S-модуль ∏_p G_p^ плоский, можно заключить, что плоским является и коядро морфизма G → ∏_p G_p^. (См. лемму 3.1.6 и предложение 4.2.2 из книжки Jinzhong Xu, Flat covers of modules, Lect. Notes 1634, 1996.)

Потому что в Москве негде поесть

http://www.snob.ru/profile/27147/blog/70846

via mvitorgan@facebook