Конечномерные теории кокручения
Jan. 24th, 2014 02:14 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть A -- точная категория, допустимые мономорфизмы и эпиморфизмы в которой мы будем называть просто "вложениями" и "сюръекциями"/"накрытиями"/... Пусть F и C -- два класса объектов в A, представителей которых мы будем называть "плоскими объектами" и "объектами кокручения". Допустим, что класс F замкнут относительно расширений в A, и всякий объект из A можно накрыть объектом из F.
Будем говорить, что объект Q из A имеет "коразмерность кокручения, большую или равную s", если существует конечная точная последовательность в A, в которой самый правый ненулевой объект равен Q, самый левый -- произвольный, а остальные, в количестве s штук, принадлежат C.
Лемма: предположим, что любой плоский объект в A можно вложить в плоский объект кокручения так, что факторобъект является плоским. Тогда всякий объект в A можно вложить в объект сколь угодно большой коразмерности кокручения так, что факторобъект будет плоским.
Доказательство: индукция по коразмерности кокручения s. Всякий объект имеет коразмерность кокручения не меньше нуля, так что база очевидна. Допустим, что мы уже научились вкладывать произвольный объект в объект коразмерности кокручения s с плоским фактором, и сделаем то же самое для коразмерности s+1.
Пусть X -- произвольный объект из A. Согласно предположению, существует сюръекция G → X, где объект G плоский. Обозначим ядро этого отображения через Y и вложим его в объект Q коразмерности кокручения не меньше s так, чтобы коядро H = Q/B было плоским. Пусть Е -- расслоенное копроизведение Q и G над Y; тогда объект E плоский как расширение объектов H и G, а ядро Q сюръективного отображения E → X имеет коразмерность кокручения не меньше s.
Вложим теперь плоский объект E в плоский объект кокручения P так, чтобы коядро D = P/E было плоским. Тогда коядро R = P/Q композиции Q → E → P является объектом коразмерности кокручения не меньше s+1. Объект X естественным образом вкладывается в R с коядром D. Лемма доказана. Заметим, что мы даже построили для нашего объекта R точную последовательность с s+1 средними членами слева от R, являющимися плоскими объектами кокручения.
Будем говорить, что объект Q из A имеет "коразмерность кокручения, большую или равную s", если существует конечная точная последовательность в A, в которой самый правый ненулевой объект равен Q, самый левый -- произвольный, а остальные, в количестве s штук, принадлежат C.
Лемма: предположим, что любой плоский объект в A можно вложить в плоский объект кокручения так, что факторобъект является плоским. Тогда всякий объект в A можно вложить в объект сколь угодно большой коразмерности кокручения так, что факторобъект будет плоским.
Доказательство: индукция по коразмерности кокручения s. Всякий объект имеет коразмерность кокручения не меньше нуля, так что база очевидна. Допустим, что мы уже научились вкладывать произвольный объект в объект коразмерности кокручения s с плоским фактором, и сделаем то же самое для коразмерности s+1.
Пусть X -- произвольный объект из A. Согласно предположению, существует сюръекция G → X, где объект G плоский. Обозначим ядро этого отображения через Y и вложим его в объект Q коразмерности кокручения не меньше s так, чтобы коядро H = Q/B было плоским. Пусть Е -- расслоенное копроизведение Q и G над Y; тогда объект E плоский как расширение объектов H и G, а ядро Q сюръективного отображения E → X имеет коразмерность кокручения не меньше s.
Вложим теперь плоский объект E в плоский объект кокручения P так, чтобы коядро D = P/E было плоским. Тогда коядро R = P/Q композиции Q → E → P является объектом коразмерности кокручения не меньше s+1. Объект X естественным образом вкладывается в R с коядром D. Лемма доказана. Заметим, что мы даже построили для нашего объекта R точную последовательность с s+1 средними членами слева от R, являющимися плоскими объектами кокручения.
