![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть R0 ← R1 ← R2 ← … -- проективная система нетеровых коммутативных колец и сюръективных отображений между ними. Пусть R = limn Rn -- ее проективный предел, рассматриваемый как топологическое кольцо, и пусть In ⊂ R -- ядра естественных сюръективных гомоморфизмов R → Rn. Пусть F -- плоский R-контрамодуль; согласно разделу D.1 текущей версии контрагерентного текста (на positselski.narod.ru), это значит, что F = limn Fn, где Fn -- плоские Rn-модули и Fn+1 → Fn -- сюръективные отображения, отождествляющие Fn с Rn ⊗Rn+1 Fn+1.
Как известно, плоские модули кокручения над нетеровым кольцом S суть в точности произведения по точкам спектра S свободных контрамодулей над пополнениями Sp^ локализаций Sp кольца S по соответствующим простым идеалам. Предлагается следующая конструкция функториального отображения плоского S-модуля G в плоский S-модуль кокручения: для каждого простого идеала p кольца S, взять естественное отображение из G в p-адическое пополнение Gp^ плоского Sp-модуля Gp = Sp ⊗S G, потом перемножить по всем p.
Пользуясь известным фактом полноты стандартной теории кокручения в категории S-модулей, можно, наверное, показать, что отображение это (не лишенное, кажется, каких-то там свойств слабой универсальности) инъективно с плоским коядром. Далее предлагается попробовать собрать проективную систему плоских Rn-модулей кокручения из таких конструкций, примененных к Rn-модулю Fn для каждого n, и сделать из этого вложение нашего плоского R-контрамодуля F в плоский R-контрамодуль кокручения (в каком-то там смысле).
Update: в самом деле, из вышесформулированного описания плоских модулей кокручения над S ясно, что всякий гомоморфизм из плоского S-модуля G в такой S-модуль факторизуется через ∏p Gp^. Чтобы убедиться, что отображение G → ∏p Gp^ инъективно и коядро его является плоским S-модулем, рассмотрим естественное отображение G → HomZ(HomZ(G,Q/Z),Q/Z). S-модуль на правой стороне последнего отображения является плоским модулем кокручения, отображение это очевидно инъективно, и для любого конечно-порожденного S-модуля M отображение M ⊗S G → M ⊗S HomZ(HomZ(G,Q/Z),Q/Z) = HomZ(HomZ(M⊗SG, Q/Z), Q/Z) тоже инъективно.
Теперь отображение G → HomZ(HomZ(G,Q/Z),Q/Z) факторизуется через отображение G → ∏p Gp^, отсюда следует инъективность отображений M ⊗S G → M ⊗S ∏p Gp^ для всех таких M. Поскольку S-модуль ∏p Gp^ плоский, можно заключить, что плоским является и коядро морфизма G → ∏p Gp^. (См. лемму 3.1.6 и предложение 4.2.2 из книжки Jinzhong Xu, Flat covers of modules, Lect. Notes 1634, 1996.)
Как известно, плоские модули кокручения над нетеровым кольцом S суть в точности произведения по точкам спектра S свободных контрамодулей над пополнениями Sp^ локализаций Sp кольца S по соответствующим простым идеалам. Предлагается следующая конструкция функториального отображения плоского S-модуля G в плоский S-модуль кокручения: для каждого простого идеала p кольца S, взять естественное отображение из G в p-адическое пополнение Gp^ плоского Sp-модуля Gp = Sp ⊗S G, потом перемножить по всем p.
Пользуясь известным фактом полноты стандартной теории кокручения в категории S-модулей, можно, наверное, показать, что отображение это (не лишенное, кажется, каких-то там свойств слабой универсальности) инъективно с плоским коядром. Далее предлагается попробовать собрать проективную систему плоских Rn-модулей кокручения из таких конструкций, примененных к Rn-модулю Fn для каждого n, и сделать из этого вложение нашего плоского R-контрамодуля F в плоский R-контрамодуль кокручения (в каком-то там смысле).
Update: в самом деле, из вышесформулированного описания плоских модулей кокручения над S ясно, что всякий гомоморфизм из плоского S-модуля G в такой S-модуль факторизуется через ∏p Gp^. Чтобы убедиться, что отображение G → ∏p Gp^ инъективно и коядро его является плоским S-модулем, рассмотрим естественное отображение G → HomZ(HomZ(G,Q/Z),Q/Z). S-модуль на правой стороне последнего отображения является плоским модулем кокручения, отображение это очевидно инъективно, и для любого конечно-порожденного S-модуля M отображение M ⊗S G → M ⊗S HomZ(HomZ(G,Q/Z),Q/Z) = HomZ(HomZ(M⊗SG, Q/Z), Q/Z) тоже инъективно.
Теперь отображение G → HomZ(HomZ(G,Q/Z),Q/Z) факторизуется через отображение G → ∏p Gp^, отсюда следует инъективность отображений M ⊗S G → M ⊗S ∏p Gp^ для всех таких M. Поскольку S-модуль ∏p Gp^ плоский, можно заключить, что плоским является и коядро морфизма G → ∏p Gp^. (См. лемму 3.1.6 и предложение 4.2.2 из книжки Jinzhong Xu, Flat covers of modules, Lect. Notes 1634, 1996.)
