Котензорное произведение комплексов квазикогерентных пучков

на отделимой нетеровой схеме с дуализирующим комплексом -- это операция, задающая структуру тензорной триангулированной категории на копроизводной категории квазикогерентных пучков. Терминологически, все очень доходчиво: на производной категории квазикогерентных пучков есть тензорное произведение, а на копроизводной категории -- котензорное произведение.

Единичным объектом операции котензорного произведения комплексов квазикогерентных пучков является дуализирующий комплекс (от выбора которого, таким образом, котензорное произведение существенно зависит). Можно сравнить с предисловием к полубесконечной книжке, где говорится, что в рамках аналогии "ковариантная двойственность Серра-Гротендика на нетеровой схеме X <--> производное комодульно-контрамодульное соответствие над коалгеброй C" роль косвободного комодуля C над C играет дуализирующий комплекс D_X (комодуль C над C, конечно, является единичным объектом операции котензорного произведения над C). Ситуация эта отражена в моих обозначениях: котензорное произведение комплексов M и N над схемой X с дуализирующим комплексом D_X обозначается через M □_DX N ("котензорное произведение над D_X").

Как известно, производная категория ограниченных снизу комплексов D⁺(X-qcoh) естественным образом является полной подкатегорией копроизводной категории D^co(X-qcoh). Эта полная подкатегория сохраняется котензорным произведением, как сохраняется им и полная подкатегория ограниченных снизу комплексов с когерентными пучками когомологий D⁺_coh(X-qcoh) ⊂ D⁺(X-qcoh) ⊂ D^co(X-qcoh). На этой последней подкатегории (самой меньшей из трех), котензорное произведение определяется очень просто: данные два комплекса надо контравариантно дуализировать (с помощью дуализирующего комплекса D_X), превратив их в ограниченные сверху комплексы, можно считать, когерентных пучков; полученные два комплекса производно тензорно перемножить, и дуализировать обратно.

Вот еще одна подобная формула: если M -- комплекс из D⁺_coh(X-qcoh), а N -- произвольный объект из D^co(X-qcoh), представленный комплексом инъективных квазикогерентных пучков, то чтобы посчитать M □_DX N, нужно контравариантно дуализировать комплекс M, взять почленный квазикогерентный внутренний Hom из полученного комплекса D(M) в комплекс N, и тотализовать полученный бикомплекс с помощью бесконечных прямых сумм. Если комплекс M ограничен или комплекс N ограничен снизу, такая тотализация, конечно, ничем не отличается от обычной тотализации бикомплекса Hom с помощью бесконечных произведений.

Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/938974.html , http://posic.livejournal.com/946905.html

Котензорное произведение комплексов квазикогерентных пучков - 2

Котензорное произведение комплексов квазикогерентных пучков разнообразно рекламируется, но не определяется в предыдущем постинге. Вот, наконец, определение.

Как известно, выбор дуализирующего комплекса на отделимой нетеровой схеме X задает эквивалентность между абсолютной производной (= копроизводной = обычной производной) категорией точной категории плоских квазикогерентных пучков на X и копроизводной категорией произвольных квазикогерентных пучков. Чтобы построить по комплексу плоских квазикогерентных пучков комплекс произвольных квазикогерентных пучков, надо тензорно умножить его на дуализирующий комплекс. Чтобы построить по объекту копроизводной категории квазикогерентных пучков комплекс плоских квазикогерентных пучков, надо представить первый из них комплексом инъективных квазикогерентных пучков и взять квазикогерентный внутренний Hom в него из дуализирующего комплекса (который тоже должен быть представлен конечным комплексом инъективных пучков). Эта эквивалентность категорий называется у меня "ковариантной двойственностью Серра-Гротендика".

На (абсолютной) производной категории плоских квазикогерентных пучков есть естественная операция (непроизводного -- ничего заменять на резольвенты не нужно) тензорного произведения. Кроме того, есть естественное действие этой тензорной категории на копроизводной категории произвольных квазикогерентных пучков как на модульной категории, тоже осуществляемое с помощью операции (непроизводного) тензорного произведения. Ковариантная двойственность Серра-Гротендика, построенная с помощью дуализирующего комплекса D_X, преобразует обе эти операции в одну и ту же операцию тензорного произведения на копроизводной категории квазикогерентных пучков. Эта последняя операция и называется "котензорным произведением над D_X".

Наконец, вот еще один частный случай, по-новому иллюстрирующий терминологию "котензорное произведение". Предположим, что наша схема X является схемой конечного типа над полем k. Тогда есть естественный выбор дуализирующего комплекса D_X, за который можно взять результат применения функтора экстраординарного обратного образа при структурном морфизме X → Spec k к структурному пучку на Spec k. Так вот, котензорное произведение двух комплексов квазикогерентных пучков на X, взятое над этим дуализирующим комплексом D_X, можно определить очень просто: надо взять внешнее тензорное произведение этих двух комплексов на X ×_k X и экстраординарно (т.е., с помощью правого производного функтора сечений с теоретико-схемным носителем) ограничить на диагональ.