![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicна отделимой нетеровой схеме с дуализирующим комплексом -- это операция, задающая структуру тензорной триангулированной категории на копроизводной категории квазикогерентных пучков. Терминологически, все очень доходчиво: на производной категории квазикогерентных пучков есть тензорное произведение, а на копроизводной категории -- котензорное произведение.
Единичным объектом операции котензорного произведения комплексов квазикогерентных пучков является дуализирующий комплекс (от выбора которого, таким образом, котензорное произведение существенно зависит). Можно сравнить с предисловием к полубесконечной книжке, где говорится, что в рамках аналогии "ковариантная двойственность Серра-Гротендика на нетеровой схеме X <--> производное комодульно-контрамодульное соответствие над коалгеброй C" роль косвободного комодуля C над C играет дуализирующий комплекс DX (комодуль C над C, конечно, является единичным объектом операции котензорного произведения над C). Ситуация эта отражена в моих обозначениях: котензорное произведение комплексов M и N над схемой X с дуализирующим комплексом DX обозначается через M □DX N ("котензорное произведение над DX").
Как известно, производная категория ограниченных снизу комплексов D+(X-qcoh) естественным образом является полной подкатегорией копроизводной категории Dco(X-qcoh). Эта полная подкатегория сохраняется котензорным произведением, как сохраняется им и полная подкатегория ограниченных снизу комплексов с когерентными пучками когомологий D+coh(X-qcoh) ⊂ D+(X-qcoh) ⊂ Dco(X-qcoh). На этой последней подкатегории (самой меньшей из трех), котензорное произведение определяется очень просто: данные два комплекса надо контравариантно дуализировать (с помощью дуализирующего комплекса DX), превратив их в ограниченные сверху комплексы, можно считать, когерентных пучков; полученные два комплекса производно тензорно перемножить, и дуализировать обратно.
Вот еще одна подобная формула: если M -- комплекс из D+coh(X-qcoh), а N -- произвольный объект из Dco(X-qcoh), представленный комплексом инъективных квазикогерентных пучков, то чтобы посчитать M □DX N, нужно контравариантно дуализировать комплекс M, взять почленный квазикогерентный внутренний Hom из полученного комплекса D(M) в комплекс N, и тотализовать полученный бикомплекс с помощью бесконечных прямых сумм. Если комплекс M ограничен или комплекс N ограничен снизу, такая тотализация, конечно, ничем не отличается от обычной тотализации бикомплекса Hom с помощью бесконечных произведений.
Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/938974.html , http://posic.livejournal.com/946905.html
Единичным объектом операции котензорного произведения комплексов квазикогерентных пучков является дуализирующий комплекс (от выбора которого, таким образом, котензорное произведение существенно зависит). Можно сравнить с предисловием к полубесконечной книжке, где говорится, что в рамках аналогии "ковариантная двойственность Серра-Гротендика на нетеровой схеме X <--> производное комодульно-контрамодульное соответствие над коалгеброй C" роль косвободного комодуля C над C играет дуализирующий комплекс DX (комодуль C над C, конечно, является единичным объектом операции котензорного произведения над C). Ситуация эта отражена в моих обозначениях: котензорное произведение комплексов M и N над схемой X с дуализирующим комплексом DX обозначается через M □DX N ("котензорное произведение над DX").
Как известно, производная категория ограниченных снизу комплексов D+(X-qcoh) естественным образом является полной подкатегорией копроизводной категории Dco(X-qcoh). Эта полная подкатегория сохраняется котензорным произведением, как сохраняется им и полная подкатегория ограниченных снизу комплексов с когерентными пучками когомологий D+coh(X-qcoh) ⊂ D+(X-qcoh) ⊂ Dco(X-qcoh). На этой последней подкатегории (самой меньшей из трех), котензорное произведение определяется очень просто: данные два комплекса надо контравариантно дуализировать (с помощью дуализирующего комплекса DX), превратив их в ограниченные сверху комплексы, можно считать, когерентных пучков; полученные два комплекса производно тензорно перемножить, и дуализировать обратно.
Вот еще одна подобная формула: если M -- комплекс из D+coh(X-qcoh), а N -- произвольный объект из Dco(X-qcoh), представленный комплексом инъективных квазикогерентных пучков, то чтобы посчитать M □DX N, нужно контравариантно дуализировать комплекс M, взять почленный квазикогерентный внутренний Hom из полученного комплекса D(M) в комплекс N, и тотализовать полученный бикомплекс с помощью бесконечных прямых сумм. Если комплекс M ограничен или комплекс N ограничен снизу, такая тотализация, конечно, ничем не отличается от обычной тотализации бикомплекса Hom с помощью бесконечных произведений.
Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/938974.html , http://posic.livejournal.com/946905.html
