Еще об очень плоских морфизмах

В предыдущей серии постингов было показано, что некоторые морфизмы алгебраических многообразий являются очень плоскими. Цель этого постинга, навеянного комментом http://posic.livejournal.com/780534.html?thread=4384502#t4384502 -- показать, что очень плоские морфизмы схем обладают некоторыми хорошими свойствами, которыми не обладают, вообще говоря, произвольные плоские морфизмы.

Начнем со следующего простейшего контрпримера плоского, но не очень плоского морфизма нетеровых схем.

Пример. Морфизм схем Spec Q → Spec Z не является очень плоским.

Доказательство: речь идет о том, что Z-модуль Q не является очень плоским. В самом деле, представим себе, что группа Q является прямым слагаемым, или даже просто подгруппой, трансфинитно итерированного расширения A = ∪_α A_α абелевых групп вида Z[n⁻¹], где n пробегает натуральные числа. Рассмотрим самое меньшее α, для которого A_α пересекается с Q внутри A. Пусть B обозначает это пересечение; тогда B является ненулевой подгруппой в Q, являющейся одновременно подгруппой группы вида Z[n⁻¹]. При этом факторгруппа Q/B, будучи подгруппой в A/A_α, не содержит кручения. Но в этом случае ненулевые элементы B не могут быть бесконечно делимы в Q на простые числа, не входящие в n. Противоречие.

Таким образом, классы плоских и очень плоских модулей (а соответственно, и классы контраприспособленных модулей и модулей кокручения) не совпадают уже в случае модулей над кольцом целых чисел. Ответ на вопрос, которым заканчивается заглавный постинг по ссылке, отрицательный.

Следующее утверждение можно найти в книжке Хартсхорна "Алгебраическая геометрия" (упражнение III.9.1) [Upd.: вот ссылка на более общее утверждение, EGA IV₂ Thm 2.4.6 -- http://mathoverflow.net/questions/126745/are-the-projection-morphisms-from-a-product-of-varieties-necessarily-open ]:

- всякий плоский морфизм конечного типа между нетеровыми схемами является открытым отображением.

Доказательство основано на комбинации утверждений, что образ морфизма конечного типа между нетеровыми схемами является конструктивным подмножеством (упражнение II.3.19) и что образ плоского морфизма схем является подмножеством, стабильным относительно генерализации.

Последнее выводится из следующей леммы о модулях над коммутативным кольцом. Носителем модуля M над кольцом R называется множество всех точек p ∈ Spec R, для которых тензорное произведение k_p ⊗_R M не равно нулю, где k_p обозначает поле вычетов схемы Spec R в точке p.

Лемма. Носитель плоского модуля над коммутативным кольцом R является подмножеством Spec R, стабильным относительно генерализации.

Доказательство: по существу, речь идет о том, что плоский модуль F над целостным локальным кольцом S с полем вычетов k и полем частных K, имеющий ненулевую редукцию k⊗_SF, имеет также ненулевой модуль частных K⊗_SF. В самом деле, модуль F ненулевой, и отображение F = S⊗_SF → K⊗_SF инъективно, поскольку инъективно отображение S → K.

Нашей целью является доказательство следующего общего утверждения.

Теорема 1. Всякий очень плоский морфизм схем является открытым отображением. (Никаких условий нетеровости или конечного типа не нужно; ср. с гипотезой из постинга от 2 апреля.)

Сформулированный результат очевидным образом вытекает из соответствующего утверждения о модулях над кольцами.

Теорема 2. Носитель очень плоского модуля над коммутативным кольцом R является открытым подмножеством в Spec R.

Доказательство будет дано в следующем постинге.

Еще об очень плоских морфизмах - 2

Лемма. Носитель ненулевого очень плоского модуля над коммутативным кольцом R без нильпотентных элементов содержит непустое открытое подмножество в Spec R.

Доказательство. Пусть очень плоский модуль F над R является прямым слагаемым трансфинитно итерированного расширения M = ∪_α M_α модулей вида R[s⁻¹]. В частности, F является R-подмодулем в M; рассмотрим самое меньшее α, для которого F пересекается с M_α внутри M и обозначим через G это пересечение. Тогда G является ненулевым R-подмодулем одновременно в F и в R[s⁻¹] для некоторого s∈R.

Следовательно, G[s⁻¹] является ненулевым идеалом в кольце R[s⁻¹]; при этом носитель R[s⁻¹]-модуля G[s⁻¹] равен пересечению носителя R-модуля G со Spec R[s⁻¹] ⊂ Spec R. Ввиду точности справа функтора тензорного произведения, носитель R[s⁻¹]-модуля G[s⁻¹] (а следовательно, и R-модуля G) содержит дополнение V(s,G) к носителю R[s⁻¹]-фактормодуля R[s⁻¹]/G[s⁻¹] в Spec R[s⁻¹]. Последний есть замкнутое подмножество, соответствующее идеалу G[s⁻¹] ⊂ R[s⁻¹]; если в R нет нильпотентов, открытое подмножество V(s,G) ⊂ Spec R[s⁻¹] непусто.

Покажем, что носитель F содержит V(s,G). Пусть p ∈ V(s,G) ⊂ Spec R -- простой идеал в R и k_p -- его поле вычетов. Тогда отображение k_p ⊗_R G → k_p ⊗_R R[s⁻¹] = k_p сюръективно согласно рассуждениям выше, отображение k_p ⊗_R M_α → k_p ⊗_R M инъективно ввиду плоскости M/M_α, и отображение k_p ⊗_R F → k_p ⊗_R M инъективно, поскольку F является прямым слагаемым в M [это наблюдение мы, кажется, не используем]. Наконец, композиция G → F → M и отображение G → R[s⁻¹] факторизуются через одно и то же отображение G → M_α.

Теперь из коммутативности диаграммы G → M_α → R[s⁻¹] следует, что отображение k_p ⊗_R G → k_p ⊗_R M_α ненулевое, из диаграммы G → M_α → M видно, что отображение k_p ⊗_R G → k_p ⊗_R M ненулевое, и из коммутативности диаграммы G → F → M следует, что отображение k_p ⊗_R G → k_p ⊗_R F ненулевое. Лемма доказана.

Следствие. Пусть F -- очень плоский модуль над кольцом R и Z -- замкнутое подмножество в Spec R. Тогда если носитель F в Spec R пересекается с Z, то он содержит непустое открытое подмножество в Z.

Доказательство: снабдим Z структурой приведенной замкнутой подсхемы в Spec R и положим S = O(Z). Тогда пересечение Z ∩ Supp F совпадает с носителем модуля S ⊗_R F в Spec S = Z ⊂ Spec R. Заметим, что S-модуль S ⊗_R F очень плоский. Теперь если S ⊗_R F = 0 равен нулю, то пересечение Z ∩ Supp F пусто, а в противном случае оно содержит непустое открытое подмножество в Spec S согласно лемме выше.

Замечание: из рассуждения выше видно, что в лемме можно заменить условие отсутствия нильпотентов в кольце R на условие незануления тензорного произведения F на факторкольцо S кольца R по его нильрадикалу. В частности, это условие автоматически выполнено, если нильрадикал R нильпотентен (как идеал), что включает все нетеровы кольца R. С другой стороны, нетрудно привести пример плоского модуля над коммутативным кольцом R, аннулируемого приведением по модулю нильрадикала. Достаточно взять за R кольцо многочленов от x, x^1/2, x^1/4, ... над полем k = S, с соотношениями x^r = 0 если r > 1, а за F -- нильрадикал ("идеал аугментации") в R. Модуль F над R плоский, поскольку он является прямым пределом свободных R-модулей x^1/2n ⊗ R при возрастающих n.

Доказательство теоремы 2 из предыдущего постинга: пусть F -- очень плоский R-модуль. Обозначим через Z замыкание дополнения к Supp F в Spec R. Тогда, по определению, Supp F содержит дополнение к Z в Spec R, и в Z нет открытых подмножеств, содержащихся в Supp F. Согласно следствию выше, из последнего наблюдения следует, что Supp F не пересекается с Z, т.е., Supp F есть дополнение к замкнутому множеству Z в Spec R.