![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Теорема 1. Для любой схемы конечного типа X над полем k, естественные морфизмы проекции AXn → X являются очень плоскими.
Доказательство: предположим сначала, что поле k бесконечно. Ввиду соображений из примера 4 предпредыдущего постинга, а также факта замнутости класса очень плоских морфизмов относительно композиций, достаточно показать, что морфизмы проекции π: Akn+1 → Akn являются очень плоскими. Воспользуемся индукцией по n; случай n = 0 очевиден.
Пусть U -- главное аффинное открытое подмножество в An+1; требуется доказать, что O(U) является очень плоским O(An)-модулем. Дополнение к U в An+1 является аффинной гиперповерхностью -- множеством нулей полинома от n + 1 переменных. Разложим его на неприводимые множители и выделим те, которые не зависят от последней переменной (которую забывает проекция). Таким образом, дополнение к U в An+1 раскладывается в объединение Z ∪ π−1(W), где W -- гиперповерхность в An, а Z -- гиперповерхность в Аn+1, проекция которой на An является композицией плоского конечного гомеоморфизма и конечного этального морфизма вне полного прообраза Y ⊂ Z замкнутого подмножества X ⊂ An, где размерности Y и X не превосходят n − 1.
Поскольку класс очень плоских модулей замкнут относительно тензорных произведений, достаточно показать, что O(An)-модуль O(An+1\Z) очень плоский; так что можно считать W пустым. Далее, можно считать размерности всех неприводимых компонент подмногообразий X и Y в точности равными n − 1.
Выберем какую-нибудь невертикальную прямую (одномерное подпространство) в векторном пространстве kn+1, и проведем через каждую точку из Y аффинную прямую в An+1 в выбранном направлении. После перехода к замыканию в топологии Зарисского, зарисуется (в общем положении) некоторая гиперповерхность H в An+1. Замена координат делает выбранное невертикальное направление горизонтальным и координатным; в этих координатах, гиперповерхность H является полным прообразом гиперповерхности в "горизонтальном" An (расслаивающемся над An−1) при отображении забывания этой горизонтальной координаты.
Для каждой точки из An+1, не лежащей на Y, направления на точки из Y образуют (самое большее) (n−1)-мерное подмногообразие в n-мерном проективном пространстве направлений. Поэтому пересечение конечного числа гиперповерхностей типа H совпадает с Y. Ввиду локальности очень плоскости, достаточно показать, что кольцо O(An+1\(H∪Z)) является очень плоским O(An)-модулем. Ввиду предположения индукции по n, таковым является кольцо O(An\H).
Согласно теоремам 1-2 из предыдущего постинга, кольцо O(Z\H) является очень плоским O(An\X)-модулем, а значит, и O(An)-модулем. Согласно рассуждению из примера 2 предпредыдущего постинга, отсюда следует, что таковым является и кольцо O(An+1\(H∪Z)). Таким образом, мы доказали теорему для случая бесконечного поля k.
В случае конечного поля k, воспользуемся леммой из предыдущего постинга. Достаточно показать, что для любой схемы конечного типа X над любым полем k и любого алгебраического расширения полей L/k, морфизм f: XL → X удовлетворяет условиям леммы. Поскольку остальные условия очевидны, остается проверить, что морфизм f очень плоский. Можно считать схему X аффинной. Тогда любая главная аффинная открытая подсхема в XL определена над некоторым подполем l ⊂ L, конечным над k. Это сводит вопрос к случаю конечного расширения полей, в котором морфизм f очень плоский согласно теоремам 1-2 из предыдущего постинга.
Теорема 2. а) Любой конечный плоский морфизм одномерных схем конечного типа над полем k является очень плоским.
б) Любой плоский (или, что то же самое, квазиконечный) морфизм конечного типа из приведенной одномерной схемы в гладкую одномерную схему конечного типа над полем k является очень плоским.
Доказательство: пункт а) получается рассуждением из примера 1 предпредыдущего постинга. Если Y → X -- наш плоский конечный морфизм аффинных кривых и U ⊂ Y -- открытое подмножество, получающееся выкалыванием нескольких точек, можно рассмотреть открытое подмножество V ⊂ Y, получающееся выкалыванием дополнения до множества точек Y\U в полном прообразе образа этого множества точек при морфизме Y → X. В случае выкалывания неприводимых компонент, можно рассуждать аналогичным образом про неприводимые компоненты, сводя вопрос к уже рассмотренному. Пункт б) сводится к пункту а) с помощью основной теоремы Зарисского (вложения квазиконечного морфизма в конечный).
Доказательство: предположим сначала, что поле k бесконечно. Ввиду соображений из примера 4 предпредыдущего постинга, а также факта замнутости класса очень плоских морфизмов относительно композиций, достаточно показать, что морфизмы проекции π: Akn+1 → Akn являются очень плоскими. Воспользуемся индукцией по n; случай n = 0 очевиден.
Пусть U -- главное аффинное открытое подмножество в An+1; требуется доказать, что O(U) является очень плоским O(An)-модулем. Дополнение к U в An+1 является аффинной гиперповерхностью -- множеством нулей полинома от n + 1 переменных. Разложим его на неприводимые множители и выделим те, которые не зависят от последней переменной (которую забывает проекция). Таким образом, дополнение к U в An+1 раскладывается в объединение Z ∪ π−1(W), где W -- гиперповерхность в An, а Z -- гиперповерхность в Аn+1, проекция которой на An является композицией плоского конечного гомеоморфизма и конечного этального морфизма вне полного прообраза Y ⊂ Z замкнутого подмножества X ⊂ An, где размерности Y и X не превосходят n − 1.
Поскольку класс очень плоских модулей замкнут относительно тензорных произведений, достаточно показать, что O(An)-модуль O(An+1\Z) очень плоский; так что можно считать W пустым. Далее, можно считать размерности всех неприводимых компонент подмногообразий X и Y в точности равными n − 1.
Выберем какую-нибудь невертикальную прямую (одномерное подпространство) в векторном пространстве kn+1, и проведем через каждую точку из Y аффинную прямую в An+1 в выбранном направлении. После перехода к замыканию в топологии Зарисского, зарисуется (в общем положении) некоторая гиперповерхность H в An+1. Замена координат делает выбранное невертикальное направление горизонтальным и координатным; в этих координатах, гиперповерхность H является полным прообразом гиперповерхности в "горизонтальном" An (расслаивающемся над An−1) при отображении забывания этой горизонтальной координаты.
Для каждой точки из An+1, не лежащей на Y, направления на точки из Y образуют (самое большее) (n−1)-мерное подмногообразие в n-мерном проективном пространстве направлений. Поэтому пересечение конечного числа гиперповерхностей типа H совпадает с Y. Ввиду локальности очень плоскости, достаточно показать, что кольцо O(An+1\(H∪Z)) является очень плоским O(An)-модулем. Ввиду предположения индукции по n, таковым является кольцо O(An\H).
Согласно теоремам 1-2 из предыдущего постинга, кольцо O(Z\H) является очень плоским O(An\X)-модулем, а значит, и O(An)-модулем. Согласно рассуждению из примера 2 предпредыдущего постинга, отсюда следует, что таковым является и кольцо O(An+1\(H∪Z)). Таким образом, мы доказали теорему для случая бесконечного поля k.
В случае конечного поля k, воспользуемся леммой из предыдущего постинга. Достаточно показать, что для любой схемы конечного типа X над любым полем k и любого алгебраического расширения полей L/k, морфизм f: XL → X удовлетворяет условиям леммы. Поскольку остальные условия очевидны, остается проверить, что морфизм f очень плоский. Можно считать схему X аффинной. Тогда любая главная аффинная открытая подсхема в XL определена над некоторым подполем l ⊂ L, конечным над k. Это сводит вопрос к случаю конечного расширения полей, в котором морфизм f очень плоский согласно теоремам 1-2 из предыдущего постинга.
Теорема 2. а) Любой конечный плоский морфизм одномерных схем конечного типа над полем k является очень плоским.
б) Любой плоский (или, что то же самое, квазиконечный) морфизм конечного типа из приведенной одномерной схемы в гладкую одномерную схему конечного типа над полем k является очень плоским.
Доказательство: пункт а) получается рассуждением из примера 1 предпредыдущего постинга. Если Y → X -- наш плоский конечный морфизм аффинных кривых и U ⊂ Y -- открытое подмножество, получающееся выкалыванием нескольких точек, можно рассмотреть открытое подмножество V ⊂ Y, получающееся выкалыванием дополнения до множества точек Y\U в полном прообразе образа этого множества точек при морфизме Y → X. В случае выкалывания неприводимых компонент, можно рассуждать аналогичным образом про неприводимые компоненты, сводя вопрос к уже рассмотренному. Пункт б) сводится к пункту а) с помощью основной теоремы Зарисского (вложения квазиконечного морфизма в конечный).
