Очень плоские морфизмы алгебраических многообразий - 2

Теорема 1. Любой конечный этальный морфизм нетеровых схем является очень плоским.

Доказательство: очевидно, можно считать обе схемы аффинными и связными. Пусть Spec S → Spec R -- наш морфизм; требуется доказать, что для любого s ∈ S модуль S[s⁻¹] над кольцом R очень плоский.

Убедимся прежде всего, что достаточно рассматривать случай, когда Spec S → Spec R -- накрытие Галуа. В самом деле, пусть Spec T → Spec S -- конечный этальный морфизм, такой что композиция Spec T → Spec S → Spec R является накрытием Галуа. Заметим, что S[s⁻¹]-модуль T[s⁻¹] конечно порожденный и плоский, а следовательно, и проективный. Если известно, что R-модуль T[s⁻¹] очень плоский, то остается показать, что R-модуль S[s⁻¹] является прямым слагаемым (конечной) прямой суммы его копий. Для этого достаточно проверить, что S[s⁻¹]-модуль T[s⁻¹] является проективной образующей категории S[s⁻¹]-модулей.

Если бы это было не так, то существовал бы S[s⁻¹]-модуль M, всякий морфизм в который из S[s⁻¹]-модуля T[s⁻¹] равен нулю. Поскольку функтор Hom из конечно порожденного модуля над коммутативным нетеровым кольцом коммутирует с локализацией по простым идеалам, а конечно порожденные проективные модули над локальным нетеровым кольцом свободны, это значило бы, что для любого простого идеала p в S[s⁻¹], локализация S[s⁻¹]-модуля M в котором не зануляется, зануляется локализация S[s⁻¹]-модуля T[s⁻¹] в p. Существование простых идеалов с последним свойством противоречит сюръективности морфизма Spec T → Spec S, которая в свою очередь следует из этальности + конечности морфизма и связности Spec S.

Пусть теперь G -- группа Галуа Spec S над Spec R. Для любого подмножества Γ ⊂ G рассмотрим элемент t_Γ = ∏_g∈Γ g(s) ∈ S. Будем доказывать утверждение, что S[t_Γ⁻¹] является очень плоским R-модулем, убывающей индукцией по числу элементов в Γ (при фиксированном числе элементов в G, но меняющихся, вообще говоря, кольцах R и S). База индукции: если Γ = G, то элемент t_G = ∏_g∈G g(s) = Norm_S/R(s) принадлежит R ⊂ S, и кольцо S[t_G⁻¹] является проективным модулем над R[t_G⁻¹].

Шаг индукции: пусть H ⊂ G -- стабилизатор подмножества Г при действии G на себе левыми умножениями, и пусть g₁, ..., g_n ∈ G -- множество представителей левых классов смежности G/H. Объединение открытых подсхем Spec S[g_i(t_Γ)⁻¹] является G-инвариантным открытым подмножеством в Spec S, и следовательно, полным прообразом некоторой открытой подсхемы U ⊂ Spec R. Пользуясь локальностью очень плоскости и заменяя при необходимости схему Spec R на ее главные аффинные открытые подсхемы, образующие покрытие открытой подсхемы U, можно считать, что U = Spec R и объединение всех Spec S[g_i(t_Γ)⁻¹] совпадает со Spec S.

Рассмотрим теперь точную последовательность Чеха для (структурного пучка и) покрытия аффинной схемы Spec S ее главными аффинными открытыми подсхемами Spec S[g_i(t_Γ)⁻¹]. Самым левым нетривиальным членом является кольцо S, следующим -- прямая сумма всех S[g_i(t_Γ)⁻¹], и дальнейшими -- прямые суммы колец S[t_Δ⁻¹] для подмножеств Δ ⊂ G, являющихся объединениями нескольких (более одного) подмножеств g_i(Γ).

Остается воспользоваться предположением индукции вместе со свойством замкнутости класса всех очень плоских R-модулей относительно расширений и ядер сюръективных морфизмов (а также прямых слагаемых).

Замечание: по существу, вторая половина рассуждения выше представляет собой доказательство следующего более общего утверждения. Пусть конечная группа G действует на кольце S, так что S является конечно порожденным проективным (или, что то же самое, конечно представимым плоским) модулем над подкольцом инвариантных элементов S^G. Тогда естественный морфизм Spec S → Spec S^G очень плоский. В дополнение к сказанному выше, тут нужно еще отметить, что G транзитивно действует на слоях проекции Spec S → Spec S^G (см. Атья-Макдональд, теорема 5.10 и упражнение 5.13). (Впрочем, нужно еще проверить, что образ G-инвариантного открытого подмножества в Spec S открыт в Spec S^G, но это, кажется, несложно -- всякий G-инвариантный идеал в S содержится в нильрадикале расширения своего сужения в S^G, ввиду теоремы Виета.)

Теорема 2. Любой конечный плоский теоретико-множественно биективный морфизм нетеровых схем является очень плоским.

Доказательство: плоский морфизм конечного типа открыт, так что в условиях теоремы морфизм является гомеоморфизмом. Очевидно, можно считать обе схемы аффинными; пусть Spec S → Spec R -- наш морфизм. Дело сводится к тому, чтобы показать, что открытое подмножество аффинно в Spec R, если оно аффинно в Spec S. Более того, можно ограничиться одними только главными аффинными открытыми подмножествами в Spec S. Таким образом, достаточно убедиться, что Spec S[s⁻¹] = Spec S[Norm_S/R(s)⁻¹] для любого s ∈ S. Последний вопрос сводится к случаю, когда R -- спектр поля, так что S -- артиново локальное кольцо. В этом случае утверждение очевидно (норма обратимого элемента обратима).

Лемма. Пусть f: W → X -- очень плоский аффинный морфизм схем, такой что для любого достаточно малого аффинного открытого подмножества U ⊂ X кольцо O(f⁻¹(U)) является проективной образующей абелевой категории O(U)-модулей. Например, согласно теоремам 1-2 (и доказательству теоремы 1), любой сюръективный конечный этальный морфизм нетеровых схем и любой конечный плоский теоретико-множественно биективный морфизм нетеровых схем обладают этими свойствами. Тогда если g: Y → X -- морфизм схем и морфизм g': W×_XY → W -- очень плоский, то и морфизм g очень плоский.

Доказательство: чтобы убедиться, что для аффинной открытой подсхемы V ⊂ Y, такой что g(V) ⊂ U, модуль O(V) над кольцом O(U) очень плоский, используем предположение леммы, согласно которому модуль O(f⁻¹(U)×_UV) над кольцом O(f⁻¹(U)) очень плоский. Поскольку морфизм f очень плоский, кольцо O(f⁻¹(U)×_UV) является также очень плоским модулем над кольцом O(U). Наконец, поскольку O(f⁻¹(U)) является проективной образующей категории O(U)-модулей, можно заключить, что кольцо O(V) является очень плоским O(U)-модулем.