Квазинаивное ко-контра соответствие и производные прямые образы

Верно ли, что квазинаивное ко-контра соответствие трасформирует производный функтор прямого образа квазикогерентных пучков Rf_* в производный функтор прямого образа контрагерентных копучков Lf_! при любом морфизме f нетеровых схем конечной размерности Крулля? Для морфизма квазикомпактных полуотделимых схем (случай "наивного ко-контра соответствия") это у меня давно доказано.

Проблема в том, что в "наивном" случае функторы ко-контра соответствия строятся как контрагерентный Hom из структурного пучка и контратензорное произведение со структурным пучком, в то время как в "квазинаивном" случае приходится использовать вялую резольвенту структурного пучка. Ну, просто потому, что в конструкциях и доказательствах фигурируют функторы прямого образа с вложений аффинных открытых подсхем, так что надо следить за приспособленностью к таким прямым образам.

Согласование же ко-контра соответствия с прямыми образами (ко)пучков требует рассмотрения обратных образов этих самых пучков коэффициентов контрагерентного Hom'а и контратензорного произведения. А вялые пучки редко бывают плоски, и вообще непонятно, как можно добиться от квазикогерентного пучка одновременной приспособленности к прямому и обратному образу.

В результате похоже на то, что доказать согласованность квазинаивного ко-контра соответствия с прямыми образами удастся только для плоских морфизмов. Получается, что есть два функтора между производными категориями квазикогерентных пучков, связанные с морфизмом нетеровых схем, причем эти два функтора естественно изоморфны а) когда схемы полуотделимы, б) когда морфизм плоский. Выглядит несколько нелепо.

Квазинаивное ко-контра соответствие и производные прямые образы - 2

Или не так уж нелепо? Допустим, мы знали бы этот закон трансформации функторов прямого образа при квазинаивном ко-контра соответствии. Что можно было бы отсюда извлечь?

Из соображений компактности и представимости Брауна можно показать, что функтор Rf_* имеет правый сопряженный функтор f^!, а функтор Lf_! имеет левый сопряженный функтор f*. Если бы мы знали это утверждение про квазинаивное ко-контра соответствие, отсюда бы следовало существование левого сопряженного функтора к Rf_* и правого сопряженного функтора к Lf_!.

Конечно, первый из этих функторов -- не что иное, как всем известный производный функтор обратного образа Lf* (а второй -- его контрагерентный аналог, производный функтор Rf^!). Хитрость в том, что прямая конструкция этих производных функторов требует существования достаточно количества плоских квазикогерентных пучков (и соответственно, локально инъективных контрагерентных копучков). Последнее как раз можно доказать для квазикомпактных полуотделимых схем, но для неполуотделимых нетеровых схем я никакого доказательства не знаю.

Вероятно, проблему можно обойти, рассматривая комплексы пучков O-модулей с квазикогерентными пучками когомологий. Эта категория эквивалентна производной категории квазикогерентных пучков как на квазикомпактной полуотделимой, так и на произвольной нетеровой схеме. И конечно, на любом окольцованном пространстве имеется достаточно много плоских пучков O-модулей, и даже гомотопически плоских комплексов пучков O-модулей.

Правда, надо еще доказывать, что такой функтор сохраняет свойство квазикогерентности пучков когомологий (upd: что несложно делается с помощью канонической фильтрации и/или перехода к аффинной открытой окрестности). И для построения производного функтора обратного образа контрагерентных копучков такой трюк использовать не удастся (насколько я сейчас понимаю).

Заметим, что для плоского морфизма построение обратных образов в производных категориях квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков (последних -- по крайней мере в случае нетеровых схем конечной размерности Крулля) не представляет трудности. То есть проблема, изложенная в предыдущем постинге, оказывается где-то знакомой...

Сопряженные функторы и ограниченные комплексы

Пусть f: Y → X -- морфизм нетеровых схем конечной размерности Крулля. Тогда из представимости Брауна следует существование правого сопряженного функтора f^! к производному функтору Rf_*: D(Y-qcoh) → D(X-qcoh). Как показать, что функтор f^! переводит ограниченные снизу комплексы в ограниченные снизу комплексы?

Скажем, можно использовать такой критерий: Hom в D(Y-qcoh) из любого комплекса, живущего в градуировках < N, в фиксированный комплекс C зануляется тогда и только тогда, когда C имеет когомологии только в градуировках ≥ N. И дальше использовать сопряженность и то, что функтор Rf_* повышает степени когомологий не больше, чем на константу.

Из представимости Брауна следует также существование правого сопряженного функтора f^! к производному функтору Rf_*: D^co(Y-qcoh) → D^co(X-qcoh). Как показать, что функтор f^! переводит ограниченные снизу комплексы в ограниченные снизу комплексы? Ограниченные теперь уже, естественно, не в смысле когомологий, а в смысле членов комплексов.

Скажем, можно использовать такой критерий: Hom в D^co(Y-qcoh) из любого комплекса, живущего в градуировках < N, в фиксированный комплекс C зануляется тогда и только тогда, когда каноническое обрезание C, живущее в градуировках < N, коациклично. И дальше снова использовать сопряженность и то, что Rf_* повышает степени членов комплексов не больше, чем на константу.

Аналогично, из ковариантной представимости Брауна следует существование левого сопряженного функтора f* к производному функтору Lf_!: D(Y-ctrh) → D(X-ctrh). Как показать, что функтор f* переводит ограниченные сверху комплексы в ограниченные сверху комплексы?

Скажем, прямое доказательство, двойственное к изложенному выше, упирается в проблему, что категория контрагерентных копучков неабелева и канонических фильтраций на комплексах над ней нет. С другой стороны, известно, что квазинаивное ко-контра соответствие переводит ограниченные с какой-либо стороны комплексы в аналогично ограниченные.

Если бы мы знали закон трансформации Rf_* в Lf_! при этом самом соответствии, вопрос свелся бы к доказательству того, что функтор Lf* на производных категориях квазикогерентных пучков сохраняет ограниченность сверху. С чем, уж наверное, как-нибудь можно было бы разобраться -- используя ли конструкцию Lf* через комплексы пучков O-модулей, или двойственный вариант приведенного выше рассуждения с сопряженностью и ортогональностью.

Наконец, из ковариантной представимости Брауна следует еще и существование левого сопряженного функтора f* к производному функтору Lf_!: D^ctr(Y-ctrh) → D^ctr(X-ctrh). Как показать, что функтор f* переводит ограниченные сверху комплексы в ограниченные сверху комплексы?

Скажем, два фигурирующих выше функтора Lf_! образуют коммутативный квадрат с функторами локализации Вердье, бьющими из контрапроизводных категорий в производные. Последние функторы имеют левые сопряженные, которые можно построить с помощью гомотопически проективных резольвент. Квадрат из сопряженных функторов тоже будет коммутативен.

Поскольку все ограниченные сверху комплексы проективных объектов гомотопически проективны и в каждый ограниченный сверху комплекс можно отобразить ограниченный сверху комплекс проективных объектов так, чтобы конус был контраацикличен (да и вообще всякий ограниченный сверху ацикличный комплекс контраацикличен), наш левый сопряженный функтор к функтору локализации образует коммутативный треугольник с вложениями производной категории ограниченных сверху комплексов в неограниченную производную категорию и контрапроизводную категорию.

Это доказывает не только сохранение ограниченности сверху функтором f*, но и согласованность двух полученных такими ограничениями функторов f* на производной категории ограниченных сверху комплексов.