![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicИли не так уж нелепо? Допустим, мы знали бы этот закон трансформации функторов прямого образа при квазинаивном ко-контра соответствии. Что можно было бы отсюда извлечь?
Из соображений компактности и представимости Брауна можно показать, что функтор Rf* имеет правый сопряженный функтор f!, а функтор Lf! имеет левый сопряженный функтор f*. Если бы мы знали это утверждение про квазинаивное ко-контра соответствие, отсюда бы следовало существование левого сопряженного функтора к Rf* и правого сопряженного функтора к Lf!.
Конечно, первый из этих функторов -- не что иное, как всем известный производный функтор обратного образа Lf* (а второй -- его контрагерентный аналог, производный функтор Rf!). Хитрость в том, что прямая конструкция этих производных функторов требует существования достаточно количества плоских квазикогерентных пучков (и соответственно, локально инъективных контрагерентных копучков). Последнее как раз можно доказать для квазикомпактных полуотделимых схем, но для неполуотделимых нетеровых схем я никакого доказательства не знаю.
Вероятно, проблему можно обойти, рассматривая комплексы пучков O-модулей с квазикогерентными пучками когомологий. Эта категория эквивалентна производной категории квазикогерентных пучков как на квазикомпактной полуотделимой, так и на произвольной нетеровой схеме. И конечно, на любом окольцованном пространстве имеется достаточно много плоских пучков O-модулей, и даже гомотопически плоских комплексов пучков O-модулей.
Правда, надо еще доказывать, что такой функтор сохраняет свойство квазикогерентности пучков когомологий (upd: что несложно делается с помощью канонической фильтрации и/или перехода к аффинной открытой окрестности). И для построения производного функтора обратного образа контрагерентных копучков такой трюк использовать не удастся (насколько я сейчас понимаю).
Заметим, что для плоского морфизма построение обратных образов в производных категориях квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков (последних -- по крайней мере в случае нетеровых схем конечной размерности Крулля) не представляет трудности. То есть проблема, изложенная в предыдущем постинге, оказывается где-то знакомой...
Из соображений компактности и представимости Брауна можно показать, что функтор Rf* имеет правый сопряженный функтор f!, а функтор Lf! имеет левый сопряженный функтор f*. Если бы мы знали это утверждение про квазинаивное ко-контра соответствие, отсюда бы следовало существование левого сопряженного функтора к Rf* и правого сопряженного функтора к Lf!.
Конечно, первый из этих функторов -- не что иное, как всем известный производный функтор обратного образа Lf* (а второй -- его контрагерентный аналог, производный функтор Rf!). Хитрость в том, что прямая конструкция этих производных функторов требует существования достаточно количества плоских квазикогерентных пучков (и соответственно, локально инъективных контрагерентных копучков). Последнее как раз можно доказать для квазикомпактных полуотделимых схем, но для неполуотделимых нетеровых схем я никакого доказательства не знаю.
Вероятно, проблему можно обойти, рассматривая комплексы пучков O-модулей с квазикогерентными пучками когомологий. Эта категория эквивалентна производной категории квазикогерентных пучков как на квазикомпактной полуотделимой, так и на произвольной нетеровой схеме. И конечно, на любом окольцованном пространстве имеется достаточно много плоских пучков O-модулей, и даже гомотопически плоских комплексов пучков O-модулей.
Правда, надо еще доказывать, что такой функтор сохраняет свойство квазикогерентности пучков когомологий (upd: что несложно делается с помощью канонической фильтрации и/или перехода к аффинной открытой окрестности). И для построения производного функтора обратного образа контрагерентных копучков такой трюк использовать не удастся (насколько я сейчас понимаю).
Заметим, что для плоского морфизма построение обратных образов в производных категориях квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков (последних -- по крайней мере в случае нетеровых схем конечной размерности Крулля) не представляет трудности. То есть проблема, изложенная в предыдущем постинге, оказывается где-то знакомой...
