Ко-контра соответствие для конструктивных (ко)пучков?

Понятие копучка абелевых групп/векторных пространств (в аналитической, этальной и т.п. топологиях) вообще выглядит проблематичным, но представляется, что конструктивные копучки можно определить. За отсутствием сейчас степени понимания, необходимой для строгих определений, приведу два смутных аргумента.

Во-первых, если рассматривать конструктивные пучки по отношению к фиксированной стратификации, то слои таких пучков во всех точках оказываются стабилизирующимися прямыми пределами групп сечений (все достаточно малые разумные окрестности любой точки одинаковы). Соответственно, кослои таких копучков будут стабилизирующимися обратными пределами, в связи с которыми проблема неточности обратного предела не встает.

Во-вторых, интуитивно кажется, что конструктивный пучок можно описать как набор данных более-менее комбинаторного толка (по векторному пространству на каждом страте + действия фундаментальных групп стратов + отображения, связанные с примыканиями стратов). И такое описание можно формально дуализировать, обратив все стрелки.

Можно ли построить естественную эквивалентность между производными категориями конструктивных пучков и конструктивных копучков на фиксированной стратификации?

Ко-контра соответствие для конструктивных (ко)пучков? - 2

Оставим пока в стороне известную проблему, что производная категория конструктивных пучков на фиксированной стратификации может отличаться от полной подкатегории в производной категории всех пучков, состоящей из комплексов с соответственно конструктивными когомологиями. Будем просто предполагать, что речь идет о стратификации, для которой эти две триангулированные категории совпадают.

Тогда имеются сразу две очевидных конструкции. Во-первых, есть функтор двойственности Вердье, контравариантно отображающий комплексы конструктивных пучков в другие такие же комплексы. Можно надеяться, что этот функтор в принципе допускает описание в условно-комбинаторных терминах, т.е., слой нового комплекса как-то выражается через слои исходного комплекса над тем же стратом и примыкающим к нему стратами, в терминах отображений между этими слоями, входящих в структуру пучка.

Поскольку такая конструкция контравариантна и (можно продолжать надеяться) переводит комплексы пучков с конечномерными слоями в аналогичные, ее, может быть, можно разложить в композицию функтора линейной дуализации, переводящего пучок с некоторыми слоями в копучок с двойственными слоями (или наоборот, смотря, с какой стороны) и ковариантной эквивалентности между комплексами пучков и комплексами копучков. Может быть, даже имеющей смысл для пучков и копучков бесконечномерных пространств.

Во-вторых, попробуем рассуждать чуть более формально. Рассмотрим абелеву категорию конструктивных пучков с конечныомерными слоями на фиксированной стратификации. Выберем произвольно по одной точке на каждом страте и рассмотрим "функтор слоя" со значениями в конечномерных пространствах, сопоставляющий пучку прямую сумму его слоев в выбранных точках. Получится точный консервативный функтор. Ввиду обычных результатов, наша абелева категория оказывается эквивалентной категории конечномерных комодулей над некоторой коалгеброй C над полем коэффициентов.

Будем теперь понимать под "конструктивными пучками" C-комодули, а под "конструктивными копучками" C-контрамодули. Тогда общая теорема о ко-контра соответствии доставляет эквивалентность экзотических производных категорий пучков и копучков. На самом деле, конечно, лучше начинать такую конструкцию с категории не всех конструктивных пучков с конечномерными слоями (которых слишком много), а, скажем, таких, в которых фундаментальные группы стратов действуют в слоях унипотентными операторами, что-нибудь в этом роде. Тогда на одиночном страте получится коалгебра, связанная с проунипотентным пополнением фундаментальной группы.

Ко-контра соответствие для конструктивных (ко)пучков? - 3

Некоторая путаница в предыдущем постинге была вызвана тем, что в нем обсуждались две абелевы категории -- C-комодулей и С-контрамодулей, в то время как на самом деле их четыре -- левые и правые C-комодули, левые и правые контрамодули. Если правильно учесть этот момент, ситуация проясняется.

Пусть X -- стратифицированное пространство, и пусть С -- такая коалгебра, что категория пучков с конечномерными слоями (и, скажем, с унипотентной монодромией) на X эквивалентна категории конечномерных левых C-комодулей. Тогда категория копучков с конечномерными слоями, будучи попросту антиэквивалентной категории пучков с конечномерными слоями, эквивалентна категории конечномерных правых C-комодулей. Конечномерные левые комодули обычно совпадают с (или, в любом случае, ковариантно вкладываются в) конечномерные левые контрамодули. Таким образом, связь между ко/контрамодулями и (ко)пучками выглядит так:

левые C-комодули = пучки комодулей (над пополнениями фундаментальных групп стратов)
правые C-комодули = копучки комодулей
левые C-контрамодули = пучки контрамодулей
правые C-комодули = копучки контрамодулей

Предполагая, что двойственность Вердье сохраняет унипотентность монодромий (или иное аналогичное условие, на них наложенное), получаем, что ковариантная версия двойственности Вердье отождествляет производные категории пучков комодулей и копучков комодулей (а также, вероятно, пучков контрамодулей и копучков контрамодулей). Контравариантный функтор послойной дуализации отображает пучки комодулей в копучки контрамодулей (и копучки комодулей в пучки контрамодулей).

Что же касается ко-контра соответствия, то оно связывает производные категории пучков комодулей и пучков контрамодулей, а также копучков комодулей и копучков контрамодулей. В частности, если страты односвязны, то C -- конечномерная коалгебра, и разницы между C-комодулями и С-контрамодулями нет. То есть производное ко-контра соответствие оказывается автоэквивалентностью производной категории пучков. Как и для всякой конечномерной коалгебры конечной гомологической размерности, этот функтор -- не что иное, как функтор Серра на производной категории комодулей (= пучков).

Если присмотреться внимательнее к тому, как выглядит процедура склейки абелевой категории пучков по стратам, можно заметить, что там фигурирует (например, в случае комплексной прямой C, стратифицированной точкой и C*) функтор инвариантов действия монодромии. В аналогичном описании для копучков будут фигурировать коинварианты. Представляется, что брать инварианты естественно было бы у комодулей, а коинварианты -- у контрамодулей. В этом смысле пучки комодулей и копучки контрамодулей выглядят более естественными категориями, чем две остальные.

Компонуя ковариантную двойственность Вердье с ко-контра соответствием, можно получить ковариантную эквивалентность между производными категориями пучков комодулей и копучков контрамодулей. Компонуя эту эквивалентность с функтором послойной дуализации, получаем контравариантный функтор из производной категории копучков комодулей в себя. В случае односвязных стратов это будет композиция двойственности Вердье с функтором Серра. Интересно, рассматривался ли такой функтор в более общих ситуациях.

Развитие vs. совершенствование

http://ailev.livejournal.com/1032133.html