Особое ограничение на замкнутую подсхему

Как известно, для любого (минимально разумного) морфизма схем f: Y → X определена пара сопряженных функторов прямого образа f_* и обратного образа f* на абелевых категориях квазикогерентных пучков на X и Y. Для замкнутого вложения i: Z → X определен, кроме того, фунтор "особого" обратного образа i^! -- сечения с теоретико-схемным носителем в Z.

На самом деле, как известно, функтор f^! определен для более-менее любого морфизма схем, но он действует на производных категориях и не является производным функтором какого-либо функтора между абелевыми категориями квазикогерентных пучков. Еще немного точнее будет отметить, что функтор f^! между абелевыми категориями квазикогерентных пучков, производным функтором Rf^! от которого будет упомянутый функтор между производными категориями, определен, как минимум, для любого конечного морфизма нетеровых схем. Но мы пока ограничимся замкнутыми вложениями.

В случае контрагерентных копучков нужно налагать больше разных условий, поскольку когда функторы на абелевых категориях неточны, аналогичные функторы между точными категориями не везде определены. Тем не менее, для любого морфизма f квазикомпактных полуотделимых схем на подходящих точных подкатегориях точной категории контрагерентных копучков определены функторы прямого и обратного образа, которые у меня обозначаются через f_! и f^!. Ситуация двойственно-аналогична квазикогерентной, и два функтора эти на контрагерентных копучках сопряжены друг к другу ("там, где они определены") не с той стороны, с которой сопряжены обычные функторы прямого и обратного образа на квазикогерентных пучках. Отсюда и обозначения со значком "!".

Хотелось бы иметь также для контрагерентных копучков аналог функтора особого ограничения на замкнутую подсхему i: Z → X. Это то, что естественно было бы обозначать через i* для контрагерентных копучков. Например, такая вещь может быть необходима для того, чтобы написать для контрагерентных копучков точную последовательность/выделенный треугольник, связанный с замкнутой подсхемой и ее открытым дополнением (если это вообще возможно) и проч. На уровне модулей, этот функтор, очевидно, должен сопоставлять модулю P над коммутативным кольцом R модуль P/IP = S ⊗_R P над фактокольцом S = P/I. Вопрос в том, выполнены ли необходимые согласования с условиями приспособленности и проч., и как в этом убедиться.

Особое ограничение на замкнутую подсхему - 2

Продолжение предыдущего постинга, обозначения которого сохраняются.

Лемма 1. Пусть P -- контраприспособленный модуль над кольцом R. Тогда P/IP -- контраприспособленный модуль над факторкольцом R/I.

Доказательство. Поскольку известно, что класс контраприспособленных модулей замкнут относительно взятия фактормодулей, достаточно показать, что R/I-модуль контраприспособлен тогда и только тогда, когда он контраприспособлен как R-модуль. Последнее немедленно следует из определения контраприспособленности, апеллирующего к действию на модуле отдельных элементов кольца ("неоднозначное бесконечное суммирование"). Альтернативным образом, достаточно отметить, что приведения по модулю I локализаций кольца R по его элементам суть в точности все локализации кольца R/I по его элементам, и Ext_R*(F,Q) = Ext_R/I*(F/IF, Q) для плоского R-модуля F и любого R/I-модуля Q.

Верен ли аналог леммы 1 для модулей кокручения вместо контраприспособленных? Спрашивать об этом имеет смысл в дополнительном предположении, что R-модуль P плоский. Упирается это дело, видимо, прежде всего в то, как поднять произвольный плоский R/I-модуль до плоского R-модуля.

Лемма 2. Пусть P -- контраприспособленный плоский модуль над когерентным кольцом R, и пусть r ∈ R -- элемент. Предположим, что идеал I ⊂ R конечно порожден. Тогда естественный гомоморфизм R/I[r⁻¹]-модулей Hom_R(R[r⁻¹],P) / I Hom_R(R[r⁻¹],P) → Hom_R/I(R/I[r⁻¹], P/IP) является изоморфизмом.

Доказательство. Очевидно, Hom_R(R[r⁻¹], P/IP) = Hom_R/I(R/I[r⁻¹], P/IP), так что достаточно показать, что Hom_R(R[r⁻¹],P) / I Hom_R(R[r⁻¹],P) = Hom_R(R[r⁻¹], P/IP). В этом последнем утверждении на место R/I можно поставить любой конечно представимый R-модуль, на место R[r⁻¹] -- любой очень плоский R-модуль, и в таком виде оно доказано в разделе 1.6 нынешней версии текста, который сейчас пишется.