between the homological/homotopical algebra and the derived cat communities

Интересный коммент Сташеффа -- http://mathoverflow.net/questions/90116/functor-before-cat

Кстати сказать, ведь он придумал (среди многого прочего) дифференциальные производные функторы второго рода. А я (среди немногого прочего) -- дифференциальные/неограниченные производные категории второго рода.

Квазикогерентные стеки квазиалгебр

Развитие http://posic.livejournal.com/752004.html

Похоже, что задача, отмеченная под пунктом 4. по ссылке, решается чисто формально. Неудобство в том, что все это не имеет большого смысла в топологии Зарисского, поскольку H_Zar²(X,O*) = 0 для регулярной схемы X. Нужно пользоваться либо этальной топологией, либо аналитической.

Но, скажем, в аналитической топологии: можно называть стек квазиалгебр (с сопряжениями на обратимые элементы в качестве 2-твистов, или как там это называется) квазикогерентным, если он изоморфен квазикогерентному пучку квазиалгебр (без всяких 2-твистов) в ограничении на каждый открытый диск. Зануление H_an²(D,O*) для диска D должно влечь достаточность проверки этого условия для сколь угодно малых открытых дисков.

Аналогичным образом, в этальной топологии придется требовать выпрямляемости и квазикогерентности ограничений на строгие гензелизации локальных колец схемных точек. Разумность такого определения упирается в утверждения вроде того, что квазикогерентность пучка O_X-модулей достаточно проверять в ограничениях на спектры локальных колец точек, или даже на их гензелизации. Не знаю, правда ли это, но на первый взгляд похоже.

P.S. Важно еще, чтобы обратимые элементы в нулевых компонентах CDG-колец, скручивания на которые входят в структуру стека CDG-колец, коммутировали с элементами структурного пучка схемы. В этих предположениях можно говорить о стеке CDG-алгебр над структурным пучком схемы, и рассматривать пучок модулей над стеком CDG-алгебр как имеющий подлежащую структуру пучка модулей над структурным пучком схемы.

CDG-алгебры и калибровочные преобразования

Развитие http://posic.livejournal.com/571928.html , см. также http://posic.livejournal.com/752004.html

Пусть группа G действует на CDG-алгебре (B,d,h) автоморфизмами в категории CDG-алгебр. Что это значит? Для любого элемента g ∈ G должен быть задан автоморфизм ρ_g градуированной алгебры B и элемент a_g ∈ B¹, удовлетворяющие уравнениям d(ρ_g(b)) = ρ_g(d(b)) − [a_g,ρ_g(b)] для всех b ∈ B и d(a_g) + a_g² = 0. Кроме того, должно быть выполнено условие согласования с композицией: ρ_st = ρ_sρ_t и a_st = a_s + ρ_s(a_t).

Пример такой ситуации: пусть H -- группа Ли, P -- главное H-расслоение на многообразии M, B -- алгебра дифференциальных форм на M с коэффициентами в расслоении алгебр Ли на M, связанном с главным расслоением P и присоединенным действием H на своей алгебре Ли (расслоении Н-инвариантных вертикальных векторных полей на P). Пусть (B,d_∇,h_∇) -- структура CDG-алгебры на B, связанная с (произвольно выбранной) связностью ∇ в P (как написано в статье FAA-93). Тогда группа G сечений расслоения групп Ли на M, связанного с главным расслоением P и присоединенным действием H на себе (она же группа автоморфизмов главного расслоения P) действует автоморфизмами CDG-алгебры (B,d_∇,h_∇).

Другой пример такой ситуации: пусть (B,d,h) -- произвольная CDG-алгебра, G -- группа обратимых элементов некоммутативного кольца B⁰. Тогда G действует автоморфизмами на CDG-алгебре B; действие это задается правилами ρ_z(b) = zbz⁻¹ и a_z = −d(z)z⁻¹. (Отметим, что на DG-алгебре (A,d) естественно действует автоморфизмами только группа обратимых элементов кольца A⁰, аннулируемых d.)