Самосогласованность

Удивительно, что не только полуфизики, но даже некоторые самые настоящие математики и как бы алгебраисты, не осознают такого фундаментального аспекта понятия алгебраической конструкции или структуры, как самосогласованность тождеств или соотношений.

Когда я был школьником 2-го примерно класса, я любил забредать в кабинет математики в нашей районной школе, где висели стенды с формулами, изображавшими основные понятия школьного курса. Я разглядывал плакаты с изображенными на них тождествами коммутативности и ассоциативности сложения и умножения, левой и правой дистрибутивностями -- и думал: это, видимо, важно. Это неслучайное что-то. Коммутативность -- понятно; а вот ассоциативность -- неужели это не само собой очевидно? Видимо, нет; а удивительно. И т.д.

Как я погляжу, не у всех в младшей школе были такие стенды в кабинете математики. Погляжу, в смысле -- в свой почтовый ящик.

Об что речь: вот почему бы не определить тензорное произведение двух векторных пространств с наборами операторов на каждом, занумерованных одними и теми же индексами для обоих пространств, той же формулой, которой тензорное произведение модулей над кольцом определяют?

Да потому, блин, что не случайно определяют в учебниках тензорное произведение двух модулей над одним и тем же кольцом, одного правого и другого левого. Потому что отфакторизуются все равно оба твоих векторных пространства по соотношениям между операторами, противоположным к тем, которые в другом пространстве выполняются, в процессе построения тензорного произведения твоего. И получится все равно тензорное произведение правого и левого модулей над ассоциативной алгеброй, в лице соответствующих факторпространств двух твоих векторных пространств исходных. Т.е. нечто, приближающееся к нулю, короче, в общем случае получится, если так делать.

Или к примеру, почему все определяют искривленные модули над искривленной алгеброй именно, с ее двумя уравнениями на элемент кривизны, хотя пресловутое d²(x) = hx можно для любого элемента h любого кольца написать? А почему, блин, модули (в обычном определении) только над ассоциативными кольцами рассматривают, а над неассоциативными не рассматривают -- ты никогда не задавался таким вопросом, а? Потому, что ты скомпонуй свои аксиомы одну с другой да с самой собой так и этак, посмотри на следствия из них несложные, сравни -- вот и увидишь, почему.

Попросту, любая система система алгебраических тождеств или соотношений, задающих тот или иной класс объектов или конструкцию, всегда переписывается в конечном итоге как очень сильно переопределенная система уравнений на структурные константы или там координаты, и так далее. А чтобы переопределенная система уравнений имела решения, или по крайней мере достаточно нетривиальные решения, необходимо, чтобы коэффициенты самой этой системы уравнений в свою очередь удовлетворяли соответствующим уравнениям.

Самосогласованность систем соотношений или тождеств -- это такое неформальное понятие, конечно. Примерно соответствует тому, что в быту называется truth in advertising. Другими словами это означает, что из ваших соотношений или тождеств не должно вытекать простых следствий сложным способом.

Грубо говоря, если ваша алгебраическая структура задается соотношениями, что в ней все элементы равны нулю, то это превосходно самосогласовано и никаких претензий к такому определению нет. Если же вы пишете нетривиальную на вид систему тождеств, из которой путем троекратной подстановки и раскрытия скобок выводится, что все элементы равны нулю, то это как раз пример той самой несамосогласованности, и на практике может быть не вполне удачно.

Как минимум, вы-то сами, выписав такое определение, осознаете, что вы нулевой объект построили?

Типа кредо

По итогам беседы о жизни после семинара:

I.

1. У меня нет цели что-нибудь непременно доказать. В особенности у меня нет цели непременно доказать хоть что-нибудь.

2. В переводе на более общеупотребительный язык: меня вполне устраивает, что в моих текстах доказано то, что в них сформулировано (не считая гипотез). И что в число этого входят многие, может быть в некоторых случаях даже большинство или почти все важные естественные утверждения, которые можно сформулировать об обсуждаемых там объектах -- кроме тех утверждений, которые неверны, конечно.

3. Еще раз другими словами: у меня нет цели непременно решить какую-нибудь известную точно поставленную задачу или доказать какое-нибудь утверждение, сформулированное раньше кем-то другим. У меня даже нет цели непременно доказать какое-нибудь утверждение, в формулировку которого не входят понятия, мною определенные.

4. В особенности в п.3 у меня нет цели непременно доказать хоть какое-нибудь, все равно какое, утверждение, и далее по тексту. Или все равно, какую задачу.

II.

5. Поэтому я не ощущаю необходимости гоняться за модой, перемещаясь из области в область, в надежде, что где-то там не исчерпаны еще легко доступные возможности решить какую-нибудь известную точно поставленную задачу и т.д.

6. Вместо этого, у меня есть определенный взгляд на математику, вырастающий из эстетических пристрастий, детских впечатлений и т.п. Он постепенно развивается под воздействием новых впечатлений. Какие-то вещи меня привлекают и включаются в мой взгляд; какие-то -- не привлекают и остаются за его пределами. Пусть ими занимаются другие математики.

7. Меня устраивает, что ко времени завершения моей научной карьеры в тех областях математики, которые по историческим или эстетическим причинам оказались мне близки, будет достигнуто заметно лучшее понимание предмета, чем оно там было бы без моего участия.

8. Мне повезло в том отношении, что эти области имеют пересечение с объективно достаточно важными вопросами, с моей точки зрения. И даже с достаточно активно разрабатываемыми в современную эпоху (в широком смысле слова) объективно важными вопросами.

III.

9. Да, я готов полагаться на свои эстетические и прочие представления в смысле важности вопросов, которыми я занимаюсь и содержательности теорий, которые я разрабатываю. Да, я был бы рад иметь дополнительные внешние подтверждения в виде приложений моих теорий к доказательству чего-то, ранее сформулированного и т.д. Нет, существование таких приложений не является для меня обязательным или строго необходимым.

10. Нет, я не откажусь при случае доказать что-нибудь, сформулированное раньше кем-то другим. Мне уже случалось такое доказывать; просто это не самые важные из моих результатов.

11. Да, я понимаю, что мое материальное благосостояние и положение в обществе зависит от того, решу я какую-нибудь известную, предпочтительно точно поставленную, открытую проблему или нет; на худой конец -- решит ли кто-нибудь другой какую-нибудь известную открытую проблему с помощью разработанных мною средств или нет. Нет, я не собираюсь существенно корректировать свои действия на основе этого понимания.

12. Это не потому, что я такой самоотверженный или принципиальный, а потому, что я не могу иначе. Я занимаюсь тем, что мне интересно, другим заниматься не умею. См. пункты 6-7.

IV

13. Да, я знаю, это рискованная жизненная стратегия, даже на фоне общей рискованности профессии ученого по сравнению с другими. Нет, это не потому, что мне вообще нравится рисковать или нет дела до того, как сложится мое будущее. Это потому, что я не могу иначе. См. пункт 12.