Самосогласованность
Nov. 15th, 2011 01:56 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicУдивительно, что не только полуфизики, но даже некоторые самые настоящие математики и как бы алгебраисты, не осознают такого фундаментального аспекта понятия алгебраической конструкции или структуры, как самосогласованность тождеств или соотношений.
Когда я был школьником 2-го примерно класса, я любил забредать в кабинет математики в нашей районной школе, где висели стенды с формулами, изображавшими основные понятия школьного курса. Я разглядывал плакаты с изображенными на них тождествами коммутативности и ассоциативности сложения и умножения, левой и правой дистрибутивностями -- и думал: это, видимо, важно. Это неслучайное что-то. Коммутативность -- понятно; а вот ассоциативность -- неужели это не само собой очевидно? Видимо, нет; а удивительно. И т.д.
Как я погляжу, не у всех в младшей школе были такие стенды в кабинете математики. Погляжу, в смысле -- в свой почтовый ящик.
Об что речь: вот почему бы не определить тензорное произведение двух векторных пространств с наборами операторов на каждом, занумерованных одними и теми же индексами для обоих пространств, той же формулой, которой тензорное произведение модулей над кольцом определяют?
Да потому, блин, что не случайно определяют в учебниках тензорное произведение двух модулей над одним и тем же кольцом, одного правого и другого левого. Потому что отфакторизуются все равно оба твоих векторных пространства по соотношениям между операторами, противоположным к тем, которые в другом пространстве выполняются, в процессе построения тензорного произведения твоего. И получится все равно тензорное произведение правого и левого модулей над ассоциативной алгеброй, в лице соответствующих факторпространств двух твоих векторных пространств исходных. Т.е. нечто, приближающееся к нулю, короче, в общем случае получится, если так делать.
Или к примеру, почему все определяют искривленные модули над искривленной алгеброй именно, с ее двумя уравнениями на элемент кривизны, хотя пресловутое d2(x) = hx можно для любого элемента h любого кольца написать? А почему, блин, модули (в обычном определении) только над ассоциативными кольцами рассматривают, а над неассоциативными не рассматривают -- ты никогда не задавался таким вопросом, а? Потому, что ты скомпонуй свои аксиомы одну с другой да с самой собой так и этак, посмотри на следствия из них несложные, сравни -- вот и увидишь, почему.
Попросту, любая система система алгебраических тождеств или соотношений, задающих тот или иной класс объектов или конструкцию, всегда переписывается в конечном итоге как очень сильно переопределенная система уравнений на структурные константы или там координаты, и так далее. А чтобы переопределенная система уравнений имела решения, или по крайней мере достаточно нетривиальные решения, необходимо, чтобы коэффициенты самой этой системы уравнений в свою очередь удовлетворяли соответствующим уравнениям.
Самосогласованность систем соотношений или тождеств -- это такое неформальное понятие, конечно. Примерно соответствует тому, что в быту называется truth in advertising. Другими словами это означает, что из ваших соотношений или тождеств не должно вытекать простых следствий сложным способом.
Грубо говоря, если ваша алгебраическая структура задается соотношениями, что в ней все элементы равны нулю, то это превосходно самосогласовано и никаких претензий к такому определению нет. Если же вы пишете нетривиальную на вид систему тождеств, из которой путем троекратной подстановки и раскрытия скобок выводится, что все элементы равны нулю, то это как раз пример той самой несамосогласованности, и на практике может быть не вполне удачно.
Как минимум, вы-то сами, выписав такое определение, осознаете, что вы нулевой объект построили?
Когда я был школьником 2-го примерно класса, я любил забредать в кабинет математики в нашей районной школе, где висели стенды с формулами, изображавшими основные понятия школьного курса. Я разглядывал плакаты с изображенными на них тождествами коммутативности и ассоциативности сложения и умножения, левой и правой дистрибутивностями -- и думал: это, видимо, важно. Это неслучайное что-то. Коммутативность -- понятно; а вот ассоциативность -- неужели это не само собой очевидно? Видимо, нет; а удивительно. И т.д.
Как я погляжу, не у всех в младшей школе были такие стенды в кабинете математики. Погляжу, в смысле -- в свой почтовый ящик.
Об что речь: вот почему бы не определить тензорное произведение двух векторных пространств с наборами операторов на каждом, занумерованных одними и теми же индексами для обоих пространств, той же формулой, которой тензорное произведение модулей над кольцом определяют?
Да потому, блин, что не случайно определяют в учебниках тензорное произведение двух модулей над одним и тем же кольцом, одного правого и другого левого. Потому что отфакторизуются все равно оба твоих векторных пространства по соотношениям между операторами, противоположным к тем, которые в другом пространстве выполняются, в процессе построения тензорного произведения твоего. И получится все равно тензорное произведение правого и левого модулей над ассоциативной алгеброй, в лице соответствующих факторпространств двух твоих векторных пространств исходных. Т.е. нечто, приближающееся к нулю, короче, в общем случае получится, если так делать.
Или к примеру, почему все определяют искривленные модули над искривленной алгеброй именно, с ее двумя уравнениями на элемент кривизны, хотя пресловутое d2(x) = hx можно для любого элемента h любого кольца написать? А почему, блин, модули (в обычном определении) только над ассоциативными кольцами рассматривают, а над неассоциативными не рассматривают -- ты никогда не задавался таким вопросом, а? Потому, что ты скомпонуй свои аксиомы одну с другой да с самой собой так и этак, посмотри на следствия из них несложные, сравни -- вот и увидишь, почему.
Попросту, любая система система алгебраических тождеств или соотношений, задающих тот или иной класс объектов или конструкцию, всегда переписывается в конечном итоге как очень сильно переопределенная система уравнений на структурные константы или там координаты, и так далее. А чтобы переопределенная система уравнений имела решения, или по крайней мере достаточно нетривиальные решения, необходимо, чтобы коэффициенты самой этой системы уравнений в свою очередь удовлетворяли соответствующим уравнениям.
Самосогласованность систем соотношений или тождеств -- это такое неформальное понятие, конечно. Примерно соответствует тому, что в быту называется truth in advertising. Другими словами это означает, что из ваших соотношений или тождеств не должно вытекать простых следствий сложным способом.
Грубо говоря, если ваша алгебраическая структура задается соотношениями, что в ней все элементы равны нулю, то это превосходно самосогласовано и никаких претензий к такому определению нет. Если же вы пишете нетривиальную на вид систему тождеств, из которой путем троекратной подстановки и раскрытия скобок выводится, что все элементы равны нулю, то это как раз пример той самой несамосогласованности, и на практике может быть не вполне удачно.
Как минимум, вы-то сами, выписав такое определение, осознаете, что вы нулевой объект построили?
