Функтор Σ−1

Пусть w -- локально не делящее ноль сечение линейного расслоения L на нетеровой схеме X с достаточным числом векторных расслоений, и пусть X₀ -- замкнутая подсхема нулей w. Рассмотрим категорию F когерентных пучков на X₀, прямые образы которых на X имеют конечную плоскую размерность (т.е. попросту являются совершенными комплексами на X). Категория F содержит векторные расслоения на X₀, замкнута относительно ядер сюръекций, коядер вложений и расширений в абелевой категории когерентных пучков на X₀; в частности, она является там точной подкатегорией.

Производная категория ее D^b(F) отождествляется с ядром отображения прямого образа из ограниченной производной категории когерентных пучков на X₀ в триангулированную категорию особенностей X. Соответственно, факторкатегория D^b(F) по ограниченной производной категории векторных расслоений на X₀ естественно эквивалентна ядру отображения прямого образа между триангулированными категориями особенностей X₀ и X.

Объект категории D^b(F) можно рассматривать (после периодизации) как матричную факторизацию потенциала w на X, подлежащий Z/2-градуированный когерентный пучок которой имеет конечную плоскую размерность. Абсолютная производная категория таких матричных факторизаций отождествляется с абсолютной производной категорией локально свободных матричных факторизаций конечного ранга потенциала w на X. Получается функтор, обратный к функтору Σ им. Д.О., похожий на функтор Υ, обратный к функтору Ξ.

Вопрос про триангулированные категории особенностей

Известно, что

- любой объект триангулированной категории особенностей (разумной) схемы Z можно представить сдвигом когерентного пучка на Z;
- любой объект триангулированной категории особенностей схемы Z, имеющий носитель в замкнутом подмножестве T⊂Z (например, всегда можно взять за T подсхему особенностей Z) можно представить конечным комплексом когерентных пучков на Z, теоретико-множественные носители которых содержатся в T.

Можно ли представить объект триангулированной категории особенностей схемы Z, имеющий носитель в замкнутом подмножестве T, сдвигом когерентного пучка на Z с теоретико-множественным носителем, содержащимся в T?

Положительный ответ на этот вопрос позволил бы, как мне кажется, представить любую локально свободную матричную факторизацию конечного ранга с теоретико-категорным носителем в T когерентной матричной факторизацией конечной плоской размерности с теоретико-множественным носителем в T.

Возвращаясь к вопросу об универсальных гомеоморфизмах

См. обсуждение в http://posic.livejournal.com/676874.html

Для любого плоского квазиконечного морфизма алгебраических многообразий f: Y → X имеется естественное отображение f_!Z/m → Z/m этальных пучков на X. Оно отличается от большинства обычных конструкций с этальными пучками в том отношении, что зависит от нильпотентов в структурных пучках X и Y. Может быть, это едва ли не единственный способ почувствовать эти нильпотенты, оставаясь в рамках этальных пучков Z/m-модулей.

Разумеется, для любого собственного морфизма f: Y → X имеется естественное отображение Z/m → f_!Z/m этальных пучков на X. Таким образом, для плоского конечного морфизма f определены оба отображения. Композиция их Z/m → f_!Z/m → Z/m есть отображение умножения на степень морфизма f, определяемую как ранг локально свободного пучка f_*O_Y на X.

P.S. Написал на эту тему сноску в готовящейся к публикации статье про Артин-Тейтовские мотивные пучки. (Хотя обычно сносок избегают в математических статьях, в порядке редкого исключения иногда, надеюсь, можно.)