Буридановое

Все же, вставлять сюжет про квази-алгебры в статью или не вставлять? Это максимальная естественная общность (как мне кажется), но к матричным факторизациям не имеет отношения.

И еще -- заниматься обобщением теоремы Хартсхорна про инъективные квазикогерентные пучки на случай нетеровых квази-когерентных (квази-)алгебр или и так сойдет?

Не могу ни на что решиться.

Общая культура

Слишком распространенная, к сожалению, "в нашей культуре" ситуация, когда некто уполномочивает себя говорить от имени культуры. Обычно это некто, находящийся в позиции власти по отношению к адресатам высказывания или пытающийся занять такую позицию.

"Всякий взрослый человек должен ..." "Всякий образованный человек должен ..." "Всякий мужчина должен ..." "Всякий математик должен ..." В этом состоит "общая культура".

Никто никому ничего не должен, и в частности вам никто ничего не должен, господин хороший. Ваш идеал "культуры" сводится к тому, чтобы все ходили строем. Я отказываюсь признавать ваши полномочия говорить от имени культуры, так и знайте.

Не-квази-когерентные пучки

Похоже, есть два основных примера пучков модулей над структурным пучком схемы, не являющихся квази-когерентными пучками:

- продолжение нулем какого-нибудь (скажем, структурного) пучка с открытой подсхемы;

- пусть x -- (скажем, замкнутая) точка схемы X и M -- какой-нибудь модуль над локальным кольцом O_X,x. Рассмотрим следующий пучок на X: его слой над всеми точками, кроме x, равен нулю, а слой над точкой x равен M. Это пучок O_X-модулей; а квази-когерентен он тогда и только тогда, когда все элементы максимального идеала кольца O_X,x действуют в M локально нильпотентно.

Например, можно взять X = Spec Z, x = p -- простое число, и M = Q или Z_(p). Получится не-квази-когерентный пучок O_{Spec Z}-модулей.

Задумка: фундаментальный текст про квази-когерентные CDG-модули

Решил буриданову задачу: раздумал и не хочу дальше утяжелять текст про относительные особенности добавлением квази-алгебр и т.п. Если уж добавлять туда чего-то, то прежде всего ко-контра соответствие для матричных факторизаций на схеме с дуализирующим комплексом. Но и эта штука, пожалуй, подождет до лучших времен, тем более, что ее надо сначала придумать.

Вместо утяжеления нынешней статьи, запланирую написание фундаментального текста про квази-когерентные CDG-алгебры и модули, освещающего следующие вопросы:

1. квази-когерентные CDG квази-алгебры и квази-когерентные CDG-модули над ними;

2. 2-категория CDG-колец (с калибровочными преобразованиями), стеки CDG-алгебр и CDG-модули над ними;

3. теоремы локальности: для квази-когерентных CDG-(квази-)алгебр, плоских, проективных, инъективных квази-когерентных CDG-модулей над ними (глобальные свойства/объекты восстанавливаются по локальным свойствам/данным на открытом покрытии, а также сохраняются при ограничении на открытую подсхему);

4. "ко-контра соответствие": ко=абсолютная производная категория локально свободных CDG-модулей бесконечного ранга эквивалентна копроизводной категории квази-когерентных CDG-модулей. Для матричных факторизаций это гипотетически так для нетеровой схемы с дуализирующим комплексом; для произвольных CDG-алгебр нужно придумывать какое-то обобщение.

P.S. И еще, кстати,

2'. квази-когерентные CDG-алгебры над стеками вместо схем (как у П.-В.)

Горенштейновы кольца (коммутативные)

Будем называть горенштейновым кольцом то, что обычно называют "горенштейновым кольцом конечной размерности Крулля", т.е. попросту нетерово коммутативное кольцо R, имеющее конечную инъективную размерность как свободный модуль над собой.

Ясно, что над горенштейновым кольцом всякий модуль конечной проективной размерности имеет конечную инъективную размерность (надо учесть, что прямые суммы сохраняют инъективную размерность модулей над нетеровым кольцом). Уже не первый год я явно или неявно пользуюсь в своих текстах обратным утверждением -- что над горенштейновым кольцом всякий модуль конечной инъективной размерности имеет конечную проективную размерность -- известным мне из фольклора, попутно мучаясь, что не знаю ни доказательства его, ни даже ссылки.

И вот наконец с сегодняшнего дня я располагаю комбинацией аргумента и ссылки, в совокупности влекущих это утверждение.

Часть 1: аргумент. Лемма: если в абелевой категории достаточно проективных объектов, все они имеют конечную инъективную размерность, и финитистская инъективная размерность (т.е. максимальная конечная инъективная размерность объекта) этой абелевой категории равна D, то все ее инъективные объекты имеют проективную размерность, не превосходящую D.

Доказательство: рассмотрим какой-нибудь инъективный объект и напишем ему достаточно длинный начальный отрезок левой проективной резольвенты. Поскольку проективные модули имеют конечную инъективную размерность и исходный модуль был инъективен, модуль когомологий этой конечной точной последовательности проективных модулей в ее самом левом члене имеет конечную инъективную размерность. Следовательно, эта инъективная размерность не превосходит D. Если длина нашего отрезка проективной резольвенты равна по крайней мере D, то отсюда следует, что представляемый ею класс Ext из ее правого модуля когомологий в левый тривиален. Тогда исходный инъективный модуль, как объект производной категории модулей, является прямым слагаемым этого отрезка резольвенты. Следовательно, его проективная размерность не превышает D.

Часть 2: ссылка. Согласно статье Bass, Injective dimension in Noetherian rings, Trans. AMS 102 (1962), Corollary 5.5, финитистская инъективная размерность нетерова коммутативного кольца (т.е., категории модулей над ним) не превышает его размерности Крулля, которая в свою очередь не превышает его инъективной размерности, как модуля над собой. (Там и ряд других интересных утверждений есть; вообще это такой предварительный материал к Рейно-Грюзону.)