Опять об два рода производных категорий

Начнем с метатезиса: везде, где возникает того или иного рода бесконечное суммирование, необходимо иметь заданное представление о том, какие слагаемые больше других, что доминирует над чем по порядку величины.

В частности, это относится к процедуре тотализации бикомплексов: выбор между взятием прямых сумм или прямых произведений вдоль диагоналей -- это алгебраическая версия идеи, что элементы разных членов бикомплекса, стоящих вдоль одной и той же диагонали, необходимо упорядочить в том или ином направлении, выбрать, какие из них будут доминировать над какими.

Если дифференциал имеет вид d + ∂ и пишется спектральная последовательность, в которой сначала берутся когомологии по d, а потом по ∂, это значит, что d было объявлено доминирующим над ∂ по порядку величины: d -- это основной член, а ∂ -- поправка к нему. В соответствующем направлении упорядочены по отношению доминирования члены бикомплекса вдоль диагоналей. Это значит, что при тотализации бикомплекса надо брать бесконечные произведения в том направлении, в котором члены убывают по значимости, и бесконечные суммы в том, в котором они возрастают -- такие ряды Лорана.

Это была призказка про бикомплексы; теперь собственно сказка про производные категории двух родов. Представим себе, что мы находимся в ситуации DG-алгебры, A-бесконечность алгебры, CDG-алгебры или чего-то в этом роде. У нее есть последовательность операций: обычно это как минимум m₁ (дифференциал) и m₂ (умножение); иной раз бывают еще m₃, m₄, ... (высшие умножения) и/или, наоборот, m₀ (кривизна).

Так вот, точка зрения первого рода подразумевает, что по порядку величины

m₁ >> m₂ >> m₃ >> ...

Например, если DG-алгебры или A-бесконечность алгебры рассматриваются с точностью до квазиизоморфизма, это значит, в частности, что когда когомологии равны нулю, умножение на алгебре (или ее действие на модуле) не имеет значения. В этом выражается доминирование m₁ над m₂.

Появление нетривиального m₀ делает эту точку зрения проблематичной, поскольку m₀ тогда оказывается доминирующим членом. Элемент кривизны -- немножко слишком глупая штука, чтобы просто так позволять ему доминировать. Если он достаточно нетривиален, он просто убьет все остальное, и ничего интересного не останется.

Точка зрения второго рода подразумевает, что

m₀ << m₁ << m₂.

Проблема с ней в том, она не допускает существование неограниченного бесконечного ряда высших m_n (поскольку они возрастают по порядку величины, так что это была бы расходимость; см. объяснения выше о том, что в направлении возрастания прямые произведения не допускаются, а нужно брать прямые суммы -- в этом, собственно, состоит смысл понятия о доминировании в данном алгебраическом контексте). Поэтому для применимости теорий второго рода высших умножений либо не должно быть вообще, либо их последовательность должна быть ограниченной, т.е. обрываться в том или ином смысле.

См. раздел 7 статьи 0905.2621, особенно замечания там, по поводу того, что из этого получается для конкретных вариантов определений А-бесконечность алгебр и коалгебр.

Портвейн

Гастрономическое впечатление: хороший портвейн бывает ужасно вкусным! Лет 20 назад, когда я предыдущий раз его пробовал, я пришел к выводу, что портвейн невкусен по определению.

Говорят, это общая ситуация: молодежь не знает толка в портвейне. До понимания портвейна нужно дорасти.

Искривленные А_бесконечность модули над локальным кольцом коэффициентов

Похоже, никто толком об этом не думал, но в связи с категориями Фукаи возникает задача гомологической алгебры, которую стоило бы, для начала, что ли, внятно поставить.

Пусть R -- локальное кольцо, которое для начала можно просто считать кольцом рядов Тейлора C[[q]], но в ситуации Фукаи это будет кольцо Новикова степенных рядов по q с неотрицательными вещественными показателями. Элементами этого кольца являются такие ряды, у которых последовательность показателей у членов с ненулевыми коэффициентами стремится к бесконечности. Желательно, чтобы в R были подходящие возможности для бесконечного суммирования (типа как в этих двух примерах -- надо еще отдельно подумать, как это сформулировать, поскольку полным локальным кольцом в обычном смысле кольцо Новикова не является -- у него максимальный идеал равен своему квадрату -- может быть, нужно требовать что-то типа пронильпотентности -- это мне А.Е. объяснил).

Нас интересуют искривленные ("слабые") А_бесконечность алгебры или категории, т.е., алгебры с операциями m₀, m₁, ... m_n, ... до бесконечности, при этом никакого условия обрыва при n→∞ не накладывается, но накладывается условие на m₀ (ср. предыдущий математический постинг). А именно, алгебра/категория A должна быть определена не над полем, но над кольцом R, и элемент m₀ в A должен принадлежать произведению максимального идеала кольца R на A. Такие алгебры/категории рассматриваются с точностью до искривленных A-бесконечность морфизмов, в которые входит и элемент замены связности f₀, который, однако, тоже должен делиться на максимальный идеал кольца R (в этом месте нам как раз пригодятся возможности бесконечного суммирования).

Хотелось бы рассмотреть над такими искривленными А-бесконечность алгебрами искривленные А-бесконечность модули, и определить их производную категорию. Дифференциалы в таких модулях в квадрате равны нулю по модулю максимального идеала кольца R, и хотелось бы использовать модифицированное определение производной категории первого рода, обращая те морфизмы, которые становятся квазиизоморфизмами после приведения по модулю максимального идеала R.

Вопросы:
- как сравниваются гомотопическая и производная категория таких искривленных A-бесконечность модулей?
- как сравниваются две категории выше с копроизводной категорией комодулей над бар-двойственной (C)DG-коалгеброй над R?
- нельзя ли доказать компактную порожденность этой производной категории и описать компактные образующие?
- допустим, у нас искривленная А-бесконечность алгебра с ненулевым m₀ или искривленная A-бесконечность категория, у которой у всех объектов m₀ ненулевые; не окажутся ли все морфизмы в соответствующей производной категории искривленных A-бесконечность модулей R-модулями кручения?
- какие еще можно задать естественные вопросы?

P.S. Что касается проблемы бесконечного суммирования, которая будет возникать в этих определениях, то, возможно, естественным классом R-модулей, в категории которых нужно работать (которому будут принадлежать подлежащие R-модули рассматриваемых алгебр и модулей над ними) являются R-контрамодули. Что касается кольца Новикова, то первым делом можно задаться вопросом о конечности его гомологической размерности.

P.P.S. Комментарий: в контексте тезисов о доминировании из предыдущего матпостинга, изложенное выше означает как бы попытку использовать сразу две схемы доминирования по порядку величины, наложив их одну на другую. С одной стороны, 1 >> q >> q² >> ...; с другой стороны, m₀ >> m₁ >> m₂ >> ... . Причем первая из этих двух схем доминирования доминирует над второй, что ли (или как-то так).

Статья про мотивные пучки Артина-Тейта на многообразиях

Я тут немножко поговорил с Вадиком В., в результате чего немножко перестал понимать, что в этой моей статье (1012.3735) написано. Источником проблемы являются особые многообразия, причем в случае кривых ее еще не возникает. Я попытаюсь немножко поспать, почитать и подумать, но пока что пусть тут будет висеть это подзамочное признание, оно же самому себе напоминание.

Основная надежда, кажется, состоит в том, что вычисление Ext(Z,Z(j)) в точной категории F_X в этой статье все-таки использует предположение гладкости X.