Опять об два рода производных категорий
Jul. 23rd, 2011 05:02 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНачнем с метатезиса: везде, где возникает того или иного рода бесконечное суммирование, необходимо иметь заданное представление о том, какие слагаемые больше других, что доминирует над чем по порядку величины.
В частности, это относится к процедуре тотализации бикомплексов: выбор между взятием прямых сумм или прямых произведений вдоль диагоналей -- это алгебраическая версия идеи, что элементы разных членов бикомплекса, стоящих вдоль одной и той же диагонали, необходимо упорядочить в том или ином направлении, выбрать, какие из них будут доминировать над какими.
Если дифференциал имеет вид d + ∂ и пишется спектральная последовательность, в которой сначала берутся когомологии по d, а потом по ∂, это значит, что d было объявлено доминирующим над ∂ по порядку величины: d -- это основной член, а ∂ -- поправка к нему. В соответствующем направлении упорядочены по отношению доминирования члены бикомплекса вдоль диагоналей. Это значит, что при тотализации бикомплекса надо брать бесконечные произведения в том направлении, в котором члены убывают по значимости, и бесконечные суммы в том, в котором они возрастают -- такие ряды Лорана.
Это была призказка про бикомплексы; теперь собственно сказка про производные категории двух родов. Представим себе, что мы находимся в ситуации DG-алгебры, A-бесконечность алгебры, CDG-алгебры или чего-то в этом роде. У нее есть последовательность операций: обычно это как минимум m1 (дифференциал) и m2 (умножение); иной раз бывают еще m3, m4, ... (высшие умножения) и/или, наоборот, m0 (кривизна).
Так вот, точка зрения первого рода подразумевает, что по порядку величины
m1 >> m2 >> m3 >> ...
Например, если DG-алгебры или A-бесконечность алгебры рассматриваются с точностью до квазиизоморфизма, это значит, в частности, что когда когомологии равны нулю, умножение на алгебре (или ее действие на модуле) не имеет значения. В этом выражается доминирование m1 над m2.
Появление нетривиального m0 делает эту точку зрения проблематичной, поскольку m0 тогда оказывается доминирующим членом. Элемент кривизны -- немножко слишком глупая штука, чтобы просто так позволять ему доминировать. Если он достаточно нетривиален, он просто убьет все остальное, и ничего интересного не останется.
Точка зрения второго рода подразумевает, что
m0 << m1 << m2.
Проблема с ней в том, она не допускает существование неограниченного бесконечного ряда высших mn (поскольку они возрастают по порядку величины, так что это была бы расходимость; см. объяснения выше о том, что в направлении возрастания прямые произведения не допускаются, а нужно брать прямые суммы -- в этом, собственно, состоит смысл понятия о доминировании в данном алгебраическом контексте). Поэтому для применимости теорий второго рода высших умножений либо не должно быть вообще, либо их последовательность должна быть ограниченной, т.е. обрываться в том или ином смысле.
См. раздел 7 статьи 0905.2621, особенно замечания там, по поводу того, что из этого получается для конкретных вариантов определений А-бесконечность алгебр и коалгебр.
В частности, это относится к процедуре тотализации бикомплексов: выбор между взятием прямых сумм или прямых произведений вдоль диагоналей -- это алгебраическая версия идеи, что элементы разных членов бикомплекса, стоящих вдоль одной и той же диагонали, необходимо упорядочить в том или ином направлении, выбрать, какие из них будут доминировать над какими.
Если дифференциал имеет вид d + ∂ и пишется спектральная последовательность, в которой сначала берутся когомологии по d, а потом по ∂, это значит, что d было объявлено доминирующим над ∂ по порядку величины: d -- это основной член, а ∂ -- поправка к нему. В соответствующем направлении упорядочены по отношению доминирования члены бикомплекса вдоль диагоналей. Это значит, что при тотализации бикомплекса надо брать бесконечные произведения в том направлении, в котором члены убывают по значимости, и бесконечные суммы в том, в котором они возрастают -- такие ряды Лорана.
Это была призказка про бикомплексы; теперь собственно сказка про производные категории двух родов. Представим себе, что мы находимся в ситуации DG-алгебры, A-бесконечность алгебры, CDG-алгебры или чего-то в этом роде. У нее есть последовательность операций: обычно это как минимум m1 (дифференциал) и m2 (умножение); иной раз бывают еще m3, m4, ... (высшие умножения) и/или, наоборот, m0 (кривизна).
Так вот, точка зрения первого рода подразумевает, что по порядку величины
m1 >> m2 >> m3 >> ...
Например, если DG-алгебры или A-бесконечность алгебры рассматриваются с точностью до квазиизоморфизма, это значит, в частности, что когда когомологии равны нулю, умножение на алгебре (или ее действие на модуле) не имеет значения. В этом выражается доминирование m1 над m2.
Появление нетривиального m0 делает эту точку зрения проблематичной, поскольку m0 тогда оказывается доминирующим членом. Элемент кривизны -- немножко слишком глупая штука, чтобы просто так позволять ему доминировать. Если он достаточно нетривиален, он просто убьет все остальное, и ничего интересного не останется.
Точка зрения второго рода подразумевает, что
m0 << m1 << m2.
Проблема с ней в том, она не допускает существование неограниченного бесконечного ряда высших mn (поскольку они возрастают по порядку величины, так что это была бы расходимость; см. объяснения выше о том, что в направлении возрастания прямые произведения не допускаются, а нужно брать прямые суммы -- в этом, собственно, состоит смысл понятия о доминировании в данном алгебраическом контексте). Поэтому для применимости теорий второго рода высших умножений либо не должно быть вообще, либо их последовательность должна быть ограниченной, т.е. обрываться в том или ином смысле.
См. раздел 7 статьи 0905.2621, особенно замечания там, по поводу того, что из этого получается для конкретных вариантов определений А-бесконечность алгебр и коалгебр.
