![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПохоже, никто толком об этом не думал, но в связи с категориями Фукаи возникает задача гомологической алгебры, которую стоило бы, для начала, что ли, внятно поставить.
Пусть R -- локальное кольцо, которое для начала можно просто считать кольцом рядов Тейлора C[[q]], но в ситуации Фукаи это будет кольцо Новикова степенных рядов по q с неотрицательными вещественными показателями. Элементами этого кольца являются такие ряды, у которых последовательность показателей у членов с ненулевыми коэффициентами стремится к бесконечности. Желательно, чтобы в R были подходящие возможности для бесконечного суммирования (типа как в этих двух примерах -- надо еще отдельно подумать, как это сформулировать, поскольку полным локальным кольцом в обычном смысле кольцо Новикова не является -- у него максимальный идеал равен своему квадрату -- может быть, нужно требовать что-то типа пронильпотентности -- это мне А.Е. объяснил).
Нас интересуют искривленные ("слабые") А_бесконечность алгебры или категории, т.е., алгебры с операциями m0, m1, ... mn, ... до бесконечности, при этом никакого условия обрыва при n→∞ не накладывается, но накладывается условие на m0 (ср. предыдущий математический постинг). А именно, алгебра/категория A должна быть определена не над полем, но над кольцом R, и элемент m0 в A должен принадлежать произведению максимального идеала кольца R на A. Такие алгебры/категории рассматриваются с точностью до искривленных A-бесконечность морфизмов, в которые входит и элемент замены связности f0, который, однако, тоже должен делиться на максимальный идеал кольца R (в этом месте нам как раз пригодятся возможности бесконечного суммирования).
Хотелось бы рассмотреть над такими искривленными А-бесконечность алгебрами искривленные А-бесконечность модули, и определить их производную категорию. Дифференциалы в таких модулях в квадрате равны нулю по модулю максимального идеала кольца R, и хотелось бы использовать модифицированное определение производной категории первого рода, обращая те морфизмы, которые становятся квазиизоморфизмами после приведения по модулю максимального идеала R.
Вопросы:
- как сравниваются гомотопическая и производная категория таких искривленных A-бесконечность модулей?
- как сравниваются две категории выше с копроизводной категорией комодулей над бар-двойственной (C)DG-коалгеброй над R?
- нельзя ли доказать компактную порожденность этой производной категории и описать компактные образующие?
- допустим, у нас искривленная А-бесконечность алгебра с ненулевым m0 или искривленная A-бесконечность категория, у которой у всех объектов m0 ненулевые; не окажутся ли все морфизмы в соответствующей производной категории искривленных A-бесконечность модулей R-модулями кручения?
- какие еще можно задать естественные вопросы?
P.S. Что касается проблемы бесконечного суммирования, которая будет возникать в этих определениях, то, возможно, естественным классом R-модулей, в категории которых нужно работать (которому будут принадлежать подлежащие R-модули рассматриваемых алгебр и модулей над ними) являются R-контрамодули. Что касается кольца Новикова, то первым делом можно задаться вопросом о конечности его гомологической размерности.
P.P.S. Комментарий: в контексте тезисов о доминировании из предыдущего матпостинга, изложенное выше означает как бы попытку использовать сразу две схемы доминирования по порядку величины, наложив их одну на другую. С одной стороны, 1 >> q >> q2 >> ...; с другой стороны, m0 >> m1 >> m2 >> ... . Причем первая из этих двух схем доминирования доминирует над второй, что ли (или как-то так).
Пусть R -- локальное кольцо, которое для начала можно просто считать кольцом рядов Тейлора C[[q]], но в ситуации Фукаи это будет кольцо Новикова степенных рядов по q с неотрицательными вещественными показателями. Элементами этого кольца являются такие ряды, у которых последовательность показателей у членов с ненулевыми коэффициентами стремится к бесконечности. Желательно, чтобы в R были подходящие возможности для бесконечного суммирования (типа как в этих двух примерах -- надо еще отдельно подумать, как это сформулировать, поскольку полным локальным кольцом в обычном смысле кольцо Новикова не является -- у него максимальный идеал равен своему квадрату -- может быть, нужно требовать что-то типа пронильпотентности -- это мне А.Е. объяснил).
Нас интересуют искривленные ("слабые") А_бесконечность алгебры или категории, т.е., алгебры с операциями m0, m1, ... mn, ... до бесконечности, при этом никакого условия обрыва при n→∞ не накладывается, но накладывается условие на m0 (ср. предыдущий математический постинг). А именно, алгебра/категория A должна быть определена не над полем, но над кольцом R, и элемент m0 в A должен принадлежать произведению максимального идеала кольца R на A. Такие алгебры/категории рассматриваются с точностью до искривленных A-бесконечность морфизмов, в которые входит и элемент замены связности f0, который, однако, тоже должен делиться на максимальный идеал кольца R (в этом месте нам как раз пригодятся возможности бесконечного суммирования).
Хотелось бы рассмотреть над такими искривленными А-бесконечность алгебрами искривленные А-бесконечность модули, и определить их производную категорию. Дифференциалы в таких модулях в квадрате равны нулю по модулю максимального идеала кольца R, и хотелось бы использовать модифицированное определение производной категории первого рода, обращая те морфизмы, которые становятся квазиизоморфизмами после приведения по модулю максимального идеала R.
Вопросы:
- как сравниваются гомотопическая и производная категория таких искривленных A-бесконечность модулей?
- как сравниваются две категории выше с копроизводной категорией комодулей над бар-двойственной (C)DG-коалгеброй над R?
- нельзя ли доказать компактную порожденность этой производной категории и описать компактные образующие?
- допустим, у нас искривленная А-бесконечность алгебра с ненулевым m0 или искривленная A-бесконечность категория, у которой у всех объектов m0 ненулевые; не окажутся ли все морфизмы в соответствующей производной категории искривленных A-бесконечность модулей R-модулями кручения?
- какие еще можно задать естественные вопросы?
P.S. Что касается проблемы бесконечного суммирования, которая будет возникать в этих определениях, то, возможно, естественным классом R-модулей, в категории которых нужно работать (которому будут принадлежать подлежащие R-модули рассматриваемых алгебр и модулей над ними) являются R-контрамодули. Что касается кольца Новикова, то первым делом можно задаться вопросом о конечности его гомологической размерности.
P.P.S. Комментарий: в контексте тезисов о доминировании из предыдущего матпостинга, изложенное выше означает как бы попытку использовать сразу две схемы доминирования по порядку величины, наложив их одну на другую. С одной стороны, 1 >> q >> q2 >> ...; с другой стороны, m0 >> m1 >> m2 >> ... . Причем первая из этих двух схем доминирования доминирует над второй, что ли (или как-то так).
