Относительная Ω/O-приспособленность - 2

Продолжение http://posic.livejournal.com/589669.html

Теорема. Следующие свойства градуированного Ω-модуля над аффинной (регулярной, конечной размерности Крулля) схемой X эквивалентны. (Все Tor и Ext подразумеваются обычные, не внутренние, что осмысленно ввиду предположения аффинности X.)

1. Tor^Ω_i(O,M) = 0 при i > 0;

2. Tor^Ω_i(F,M) = 0 при i > 0 для любого O-плоского Ω-модуля F;

3. Ext_Ωⁱ(M,I) = 0 при i > 0 для любого инъективного O-модуля I, рассматриваемого как Ω-модуль с тривиальным действием;

4. Ext_Ωⁱ(M,J) = 0 при i > 0 для любого O-инъективного Ω-модуля J;

5. Ext_Ωⁱ(O,M) = 0 при i > 0;

6. Ext_Ωⁱ(P,M) = 0 при i > 0 для любого O-проективного Ω-модуля P.

Все эти утверждения зависят только от (проективности и) фробениусовости Ω как градуированной O-алгебры. ( Доказательство )

Майлс Рид/Кийт Конрад о теориях и примерах

When general theory proves the existence of some construction, then doing it [explicitly] is a useful exercise that helps one to keep a grip on reality, [but] this should not however be allowed to obscure the fact that the theory is really designed to handle the complicated cases, when explicit computations will often not tell us anything.

http://mathoverflow.net/questions/62083/examples-of-using-class-field-theory