Относительная Ω/O-приспособленность - 2
Apr. 18th, 2011 03:22 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение http://posic.livejournal.com/589669.html
Теорема. Следующие свойства градуированного Ω-модуля над аффинной (регулярной, конечной размерности Крулля) схемой X эквивалентны. (Все Tor и Ext подразумеваются обычные, не внутренние, что осмысленно ввиду предположения аффинности X.)
1. TorΩi(O,M) = 0 при i > 0;
2. TorΩi(F,M) = 0 при i > 0 для любого O-плоского Ω-модуля F;
3. ExtΩi(M,I) = 0 при i > 0 для любого инъективного O-модуля I, рассматриваемого как Ω-модуль с тривиальным действием;
4. ExtΩi(M,J) = 0 при i > 0 для любого O-инъективного Ω-модуля J;
5. ExtΩi(O,M) = 0 при i > 0;
6. ExtΩi(P,M) = 0 при i > 0 для любого O-проективного Ω-модуля P.
Все эти утверждения зависят только от (проективности и) фробениусовости Ω как градуированной O-алгебры.
Доказательство. Импликации 2 => 1, 4 => 3 и 6 => 5 очевидны. 1 <=> 3: Кобар-конструкция, вычисляющая этот Ext, получается применением функтора HomO(-,I) к бар-конструкции, вычисляющей этот Tor. Поскольку I -- произвольный инъективный O-модуль, этого достаточно. 4 => 2: аналогичное рассуждение, примененное к J = HomO(F,I), где I -- инъективная кообразующая абелевой категории O-модулей.
Нетривиальную часть доказательства составляют импликации 1 => 6 и 5 => 4.
1 => 6: рассмотрим свободную левую резольвенту Ω-модуля M; канонически обрежем ее в достаточно далеком члене. С краю появится модуль Q, удовлетворяющий тому же условию 1, что и M, а кроме того являющийся проективным O-модулем, и O⊗ΩQ тоже является проективным O-модулем. Из этих свойств нетрудно заключить ("лемма Накаямы"), что Q является проективным Ω-модулем. Двигаясь обратно вдоль резольвенты, обнаруживаем, что M можно получить из индуцированных = коиндуцированных (с O) Ω-модулей с помощью операции перехода к коядру вложения. Отсюда сразу следует свойство 6.
5 => 4: двойственное рассуждение к предыдущему, использующее правую инъективную резольвенту Ω-модуля M.
Теорема. Следующие свойства градуированного Ω-модуля над аффинной (регулярной, конечной размерности Крулля) схемой X эквивалентны. (Все Tor и Ext подразумеваются обычные, не внутренние, что осмысленно ввиду предположения аффинности X.)
1. TorΩi(O,M) = 0 при i > 0;
2. TorΩi(F,M) = 0 при i > 0 для любого O-плоского Ω-модуля F;
3. ExtΩi(M,I) = 0 при i > 0 для любого инъективного O-модуля I, рассматриваемого как Ω-модуль с тривиальным действием;
4. ExtΩi(M,J) = 0 при i > 0 для любого O-инъективного Ω-модуля J;
5. ExtΩi(O,M) = 0 при i > 0;
6. ExtΩi(P,M) = 0 при i > 0 для любого O-проективного Ω-модуля P.
Все эти утверждения зависят только от (проективности и) фробениусовости Ω как градуированной O-алгебры.
Доказательство. Импликации 2 => 1, 4 => 3 и 6 => 5 очевидны. 1 <=> 3: Кобар-конструкция, вычисляющая этот Ext, получается применением функтора HomO(-,I) к бар-конструкции, вычисляющей этот Tor. Поскольку I -- произвольный инъективный O-модуль, этого достаточно. 4 => 2: аналогичное рассуждение, примененное к J = HomO(F,I), где I -- инъективная кообразующая абелевой категории O-модулей.
Нетривиальную часть доказательства составляют импликации 1 => 6 и 5 => 4.
1 => 6: рассмотрим свободную левую резольвенту Ω-модуля M; канонически обрежем ее в достаточно далеком члене. С краю появится модуль Q, удовлетворяющий тому же условию 1, что и M, а кроме того являющийся проективным O-модулем, и O⊗ΩQ тоже является проективным O-модулем. Из этих свойств нетрудно заключить ("лемма Накаямы"), что Q является проективным Ω-модулем. Двигаясь обратно вдоль резольвенты, обнаруживаем, что M можно получить из индуцированных = коиндуцированных (с O) Ω-модулей с помощью операции перехода к коядру вложения. Отсюда сразу следует свойство 6.
5 => 4: двойственное рассуждение к предыдущему, использующее правую инъективную резольвенту Ω-модуля M.
