Алгебраические дериваторы: постановка задачи

Пусть k -- коммутативное кольцо и C -- k-линейная DG-категория. Предположим, что для каждой k-линейной DG-категории D с гомотопически k-плоскими комплексами морфизмов нам дана производная категория DG-модулей над D⊗_kC, совершенных вдоль по C для каждого фиксированного объекта из D, рассматриваемая как k-линейная аддитивная категория с функтором сдвига. Предположим далее, что для каждого k-линейного DG-функтора D' → D'' между DG-категориями D как выше задан индуцированный функтор между производными категориями DG-модулей как выше (тот или те из них, которые всегда имеются -- это нужно посмотреть). Можно ли по этим данным восстановить класс DG-эквивалентности k-линейной DG-категории C?

Вполне возможно, что ответ на этот вопрос несложен или известен, я просто ничего про это не знаю, кроме того, что подобного рода вопрос всегда казался мне естественной отправной точкой.

Глупые фильтрации и сопряженные функторы

Решение упражнения, сформулированного в http://posic.livejournal.com/517640.html

Пусть C и D -- триангулированные категории, F и G -- пара сопряженных функторов между C и D, и пусть M и N -- полные подкатегории в C и D, замкнутые относительно расширений и переводимые функторами F и G одна в другую. Предположим, что всякий объект из N является итерированным расширением прямых слагаемых объектов, приходящих из M. Тогда если всякий морфизм степени >1 в C между объектами из M разлагается в композицию морфизмов положительной степени между объектами из M, то то же верно для морфизмов между объектами из N в D.

В самом деле, достаточно проверять разложимость для морфизмов степени >1 в D между объектами из N, один из концов которых приходит из M (в силу условия и известного общего результата об условиях разложимости высших морфизмов), а это следует из сопряженности и разложимости в C.