Артин-тейтовские мотивные пучки: план

1. Точная категория АТ-мотивных пучков над гладким многообразием. Объекты Тейта, функторы прямого и обратного образа, гомологические и когомологические мотивы квазиконечных многообразий. Сопряженности точных функторов и индуцированных триангулированных функторов. http://posic.livejournal.com/509139.html

Дальнейшие пункты следуют, с вариациями, наброску http://posic.livejournal.com/494906.html#cutid1

2. Комплексы, вычисляющие Ext в точных категориях. Функториальность относительно точных функторов, желательно строгая. Согласованность с точными тройками, (влекущая) согласованность с бесконечными влево резольвентами первого аргумента. (Локализация по Др.? Локализация по К.? Что-то еще?) http://posic.livejournal.com/510980.html , http://posic.livejournal.com/511264.html

3. Свойство по отношению к выделенным парам в топологии Нисневича. Его доказательство. Вывод из него изоморфизма Ext-ов c гиперкогомологиями Нисневича соответствующих пучковизаций. http://posic.livejournal.com/501499.html

4. Отождествление производного прямого образа из этальной топологии в Нисневича с подходящей пучковизацией комплексов предпучков, считающих Ext. http://posic.livejournal.com/502978.html , http://posic.livejournal.com/515693.html

5. Вычисление слоев комплексов предпучков Ext в топологии Нисневича в терминах точных категорий, связанных с группами Галуа полей вычетов. Категория конструктивных пучков на гензелевой локальной схеме как прямой предел категорий конструктивных пучков на этальных окрестностях. Пара сопряженных точных функторов между точными категориями, связанными с гензелевой локальной схемой и ее замкнутой точкой. http://mathoverflow.net/questions/44676/etale-cohomology-of-regular-local-rings

Комплекс, вычисляющий Ext

Зверская конструкция, продиктованная малодушным желанием отсрочить неизбежное, в смысле необходимости изучения науки имени Лурье и Ко.

Постановка задачи: требуется сопоставить каждой малой точной категории Е с парой объектов X, Y комплекс абелевых групп C_E(X,Y) со следующими свойствами.

1. Комплекс C_E(X,Y) контравариантно функториален по X и ковариантно по Y.
2. Точному функтору между точными категориями γ: E → F сопоставлены морфизмы комплексов C_E(X,Y) → C_F(γ(X),γ(Y)), согласованные с композициями функторов γ и с функториальностью из п.1.
3. Трехчленные последовательности комплексов C_E(X,Y), соответствующие точным тройкам по любому из аргументов X,Y, рассматриваемые как бикомплексы с тремя строками, имеют ацикличные тотальные комплексы.
4. Имеются изоморфизмы между когомологиями комплексов C_E(X,Y) и группами Ext по Ионеде между X и Y в точной категории E, согласованные с функториальностями из пп. 1 и 2.

Решение: ( планировался грубый хак, пока что не получился )

Функтор уплощения/упроектирования DG-алгебр?

Поскольку предыдущая попытка не удалась, сделаем другую, еще более странную.

Пусть k -- коммутативное кольцо. Попробуем построить псевдотензорный (или как он называется? слабо тензорный?) функтор P из категории комплексов k-модулей в категорию гомотопически проективных комплексов k-модулей. Функтор P будет снабжен естественным преобразованием P(A) → A, являющимся квазиизоморфизмом комплексов k-модулей, и естественным сечением этого естественного преобразования A → P(A), являющимся отображением градуированных множеств, переводящим нули в нули и коммутирующим с дифференциалом (но не сохраняющим ни сложение, ни умножение на константы из k).

Псевдотензорность состоит в том, что для любых комплексов A и B должно существовать естественное отображение комплексов k-модулей P(A)⊗_kP(B) → P(A⊗_kB), согласованное, как минимум, с ассоциативностью (а то и с градуированной коммутативностью) в тензорной категории комплексов. Должна быть также подходящая согласованность с единицей.

Применение функтора P к DG-алгебре A над k должно давать гомотопически k-проективную DG-алгебру P(A) вместе с квазиизоморфизмом DG-алгебр P(A) → A над k и однородным, мультипликативным и унитальным, но не аддитивным и не k-эквивариантным сечением A → P(A). Больше всего по своим формальным свойствам эта конструкция напоминает вектора Витта, что ли.

Чтобы убедиться, что такое вообще в принципе возможно, рассмотрим сначала простой случай, когда кольцо k содержит какое-то поле f. Тогда за P(A) можно взять (приведенную или нет, неважно) бар-конструкцию A над k относительно f. Желаемая псевдотензорная структура задается операцией shuffle product на бар-конструкциях. Отображение сечения в этом случае даже аддитивно и f-линейно, но не k-линейно.

Как предполагается достичь нашей ужасной цели в общем случае? Функтор P переводит k-модуль M в его проективную резольвенту, нулевым членом которой является k-модуль, свободно порожденный всеми элементами M, профакторизованный по подмодулю k, натянутому на образующую, соответствующую нулевому элементу M. Эта процедура итерируется, чтобы получить всю резольвенту. Комплексу k-модулей A сопоставляется тотальный комплекс бикомплекса, составленного из комплексов, соответствующих членам комплекса A, построенный с помощью взятия бесконечных прямых сумм вдоль диагоналей.

( Надо только построить отображение, определяющее псевдотензорную структуру. Пока что кажется, что это удается сделать. )