Nov. 21st, 2010

1. Эти точные категории, о которых так долго говорили большевики, вообще не существуют. Можно рассмотреть точную категорию конструктивных этальных пучков Z/m-модулей на многообразии, с точными тройками, расщепимыми в каждой схемной точке. Но чтобы подкатегория этой точной категории сама была точной, она должна быть замкнута относительно расширений (или, в другом варианте, содержать вместе со средним членом точной тройки оба крайних). Ниоткуда не следует, что класс этальных пучков Z/m-модулей, связанных с конструктивными этальными пучками множеств, замкнут относительно расширений. Т.е. чтобы получить точную категорию, надо его замыкать относительно расширений.

2. А нам это надо? Рассмотрим класс конструктивных этальных пучков Z/m-модулей, слои которых во всех схемных точках суть (конечно порожденные) перестановочные модули над группой Галуа. Он замкнут относительно расширений интересующего нас типа по определению. Далее, всякий такой пучок на каком-то открытом помногообразии нашего многообразия гладок и описывается перестановочным представлением этальной группы Галуа этого открытого подмногообразия. Факторпучок по продолжению нулем ограничения на это открытое подмногообразие обладает тем же свойством на плотном открытом подмножестве своего носителя, и т.д. Т.е. всякий пучок интересующего нас класса является итерированным расширением пучков, связанных с конечными (т.е. собственными) этальными морфизмами в локально замкнутые подмногообразия (которые можно считать гладкими). По-моему, так гораздо проще.

3. Если заглянуть в учебник (SGA 4 1/2), можно убедиться, что на пучках интересующего нас класса (описанного в п.2) действуют прямые образы с компактным носителем относительно квазиконечных морфизмов (многообразий над полем). Ну и чего еще нам нужно для щастья? Вот; и никаких топосов.
Итак, что все-таки теперь утверждается.

Пусть X -- гладкое многообразие над полем F, а m -- простое число, не делящееся на характеристику F. Рассмотрим точную категорию E_X фильтрованных этальных пучков Z/m-модулей над X, присоединенные факторы которых обладают тем свойством, что их слои над схемными точками X суть перестановочные представления групп Галуа полей вычетов этих схемных точек над Z/m, подкрученные на циклотомические этальные пучки в соответствующих тензорных степенях.

Точные тройки в E_X суть последовательности из трех фильтрованных пучков и двух морфизмов между ними, с нулевой композицией, присоединенные факторы которых суть точные тройки этальных пучков над X, расщепимые над каждой схемной точкой X.

На точных категориях E_X действуют точные функторы обратного образа по отношению к произвольным морфизмам гладких многообразий над F и прямого образа с компактным носителем по отношению к квазиконечным морфизмам. Прямые образы с компактным носителем (= продолжения нулем) при замкнутых вложениях и этальных морфизмах сопряжены к обратным образам с положенных (разных) сторон.

В частности, прямой образ с компактным носителем постоянного пучка Z/m с квазиконечного морфизма гладких многообразий Y → X -- это некоторый объект точной категории E_X, сосредоточенный целиком в компоненте фильтрации 0. Кажется, его естественно считать "относительным мотивом когомологий с компактным носителем Y над X".

Чтобы определить относительные мотивы гомологий, нужно сначала понять, что это такое, на уровне (этальных) пучков. Пусть имеется морфизм Y → X; что есть пучок послойных гомологий Y над X? Кажется, естественным кандидатом в такие пучки выглядит пучок на X, двойственный по Вердье к прямому образу постоянного пучка с Y. Или, что то же самое, прямой образ с компактным носителем дуализирующего пучка на Y. Если Y гладко, это отличается от прямого образа с компактным носителем постоянного пучка только гомологическим сдвигом и тейтовской подкруткой.

Если это правильно, то относительные мотивы гомологий Y над X отличаются от определенных выше относительных мотивов когомологий с компактным носителем только гомологическим сдвигом и тейтовской подкруткой на размерность Y. Может быть, лучше использовать относительную размерность Y над X (если X фиксировано).

Подкреплена эта интерпретация пока что в основном наброском вычисления групп Ext в точной категории E_X между тейтовскими мотивами (очевидным образом рассматриваемыми как объекты E_X). Если подумать, то это не так уж мало, хотя и не в каком понятном смысле не достаточно.

Ext из тейтовского мотива, продолженного нулем с этального морфизма, в тейтовский мотив, можно тогда посчитать по сопряженности. То же и Ext из тейтовского мотива в тейтовский мотив, продолженный нулем с замкнутого вложения. Далее, Ext из тейтовского мотива, продолженного нулем с замкнутого вложения, можно посчитать, разложив такой мотив в точный треугольник, включающий продолжение нулем с открытого дополнения. Аналогично для Ext в продолжение нулем с открытого вложения. Наконец, Ext в прямой образ тейтовского мотива при конечном этальном морфизме можно посчитать, пользуясь тензорной структурой и (частично определенной) двойственностью на E_X.

Но вот как считать Ext в продолжение нулем тейтовского мотива с этального морфизма или из прямого образа тейтовского мотива при конечном этальном морфизме на замкнутое подмногообразие, остается непонятным.

В то же время, мы знаем, что ограниченная производная категория E_X порождена тейтовскими подкрутками мотивов многообразий, конечных и этальных над локально замкнутыми подмногообразиями X (см. предыдущий постинг).

July 2025

S M T W T F S
   1 23 45
67 8 9 10 11 12
131415 16 17 18 19
2021 22 23 24 25 26
27 28 293031  

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 29th, 2025 05:37 pm
Powered by Dreamwidth Studios