Обобщенные функции в алгебраической геометрии

[posic]

Думал, как определить алгебраически такую вещь, как модуль распределений на гладком многообразии X, сосредоточенных на его гладком подмногообразии Y и регулярных вдоль Y. В процессе обнаружил научное определение через локальные когомологии, но все-таки пытался понять на языке D-модулей. Придумал следующее: возьмем кольцо D_X,Y дифференциальных операторов на X, сохраняющих идеал Y; это кольцо отображается как в D_X, так и в D_Y. Помножим тензорно D_X над D_X,Y на правый D_Y-модуль форм объема на Y. Если все происходит над вещественными числами, то получатся самые настоящие распределения: чтобы спарить гладкую функцию с компакным носителем на X с элементом этого тензорного произведения, нужно подействовать на нее дифференциальным оператором, ограничить на Y, помножить на форму объема и проинтегрировать. Все вроде верно, но что будет, если помножить тензорно D_X над D_X,Y на левый D_Y-модуль функций на Y? С точки зрения обобщенных функций, такого объекта не видно, но рассмотреть тензорное произведение ничто не мешает. В итоге уговорил себя, что такого объекта быть не должно, и тогда сел и посчитал случай точки на прямой. Действительно: когда Y не равен X, "неправильное" тензорное произведение равно нулю.

Comments

[roma.livejournal.com]

Можно рассмотреть функтор сечений с носителем на замкнутом подпр-ве (в топологическом смысле) из D-модулей на X в себя; его можно отождествить с i_*i^!, особенно если работать с правыми D-модулями. Какое-то general nonsense рассуждение показывает,
что производный функтор "неважно в какой категории вычислять"
(в том смысле, что он коммутирует с функтором забывания).
Он и переводит O в модуль локальных когомологий.

[posic.livejournal.com]

Ага. General nonsense рассуждение состоит, возможно, в том, что всякий инъективный D-модуль является инъективным O-модулем, поскольку функтор индукции из O-модулей в D-модули точен (D является плоским O-модулем).