Обобщенные функции в алгебраической геометрии

[posic]

Думал, как определить алгебраически такую вещь, как модуль распределений на гладком многообразии X, сосредоточенных на его гладком подмногообразии Y и регулярных вдоль Y. В процессе обнаружил научное определение через локальные когомологии, но все-таки пытался понять на языке D-модулей. Придумал следующее: возьмем кольцо D_X,Y дифференциальных операторов на X, сохраняющих идеал Y; это кольцо отображается как в D_X, так и в D_Y. Помножим тензорно D_X над D_X,Y на правый D_Y-модуль форм объема на Y. Если все происходит над вещественными числами, то получатся самые настоящие распределения: чтобы спарить гладкую функцию с компакным носителем на X с элементом этого тензорного произведения, нужно подействовать на нее дифференциальным оператором, ограничить на Y, помножить на форму объема и проинтегрировать. Все вроде верно, но что будет, если помножить тензорно D_X над D_X,Y на левый D_Y-модуль функций на Y? С точки зрения обобщенных функций, такого объекта не видно, но рассмотреть тензорное произведение ничто не мешает. В итоге уговорил себя, что такого объекта быть не должно, и тогда сел и посчитал случай точки на прямой. Действительно: когда Y не равен X, "неправильное" тензорное произведение равно нулю.

Comments

[roma.livejournal.com]

nu da. soprjazhennym obrazom: levyj D-modul' mozhno ogranichivat' s X na Y
kak ogranichivajut kazigogerentnyj puchok; a pravyj -- kak ogranichivajut
kvazikogerentnyj puchok s faktorial'chikom (sechenija s nositelem na Y).
No posle vzjatija proizvodnogo funktora i otozhdestvlenija levyh s pravymi
dve procedury sovpadut s tochnostj'ju do gomologicheskogo sdviga na korazmernost'! Pri tom, chto s tochki zrenija formalizma 6-ti funktorov v golonomnyh D-moduljah vse eto -- ! ogranichenie.
Kstati, esli rabotat' s pravymi D-moduljami, to ! pull-back (kotoryj tol'ko i est' dlja vseh D-modulej) soglasovan s ! pull-backom kvazikogerentnyh puchkov.

[posic.livejournal.com]

В то же время, обобщенные функции -- это когомологии с носителем в теоретико-множественном, а не в теоретико-схемном смысле, так что они не являются !-обратным образом чего бы то ни было, если только не рассматривать схем с нильпотентами. Напротив того, они являются прямым образом постоянного D-модуля при замкнутом вложении. Но как показать, что прямой образ постоянного D_Y-модуля есть то же самое, что когомологии O_X с носителем на Y, я пока не могу сообразить.

[roma.livejournal.com]

Можно рассмотреть функтор сечений с носителем на замкнутом подпр-ве (в топологическом смысле) из D-модулей на X в себя; его можно отождествить с i_*i^!, особенно если работать с правыми D-модулями. Какое-то general nonsense рассуждение показывает,
что производный функтор "неважно в какой категории вычислять"
(в том смысле, что он коммутирует с функтором забывания).
Он и переводит O в модуль локальных когомологий.

[posic.livejournal.com]

Ага. General nonsense рассуждение состоит, возможно, в том, что всякий инъективный D-модуль является инъективным O-модулем, поскольку функтор индукции из O-модулей в D-модули точен (D является плоским O-модулем).