(no subject)

[posic]

Звонит брат, задает вопрос: как посчитать число k-мерных подпространств n-мерного векторного пространства над конечным полем. Ну, в общем, сообразил я. Но не сразу. (В ответе q-аналог числа сочетаний из n по k, как известно.)

Comments

[vdots.livejournal.com]

Ну да, конечно. Клетки Шуберта и всё такое.

[posic.livejournal.com]

Это было моей первой мыслью. Таким образом получается ответ в виде суммы каких-то степеней q, занумерованных сочетаниями из n по к. Но потом я вспомнил, что там есть явная формула с произведением сомножителей вида q^s-1 в числителе и в знаменателе. И я решил, что доказывать эту формулу непосредственно с помощью клеток Шуберта будет немного грустновато. И пошел другим путем.

[vdots.livejournal.com]

Пожалуй. Хотя тут все средства хороши - можно, действительно, делить число матриц n x k полного ранга на порядок того, что сохраняет данную точку. Можно понять, что q-аналог рекурренты для треугольника Паскаля есть и для клеток Шуберта, и для явной формулы. Можно ещё что-то.

Куда более интригующий вопрос - какое самое дешёвое доказательство унимодальности этого полинома от q?

[posic.livejournal.com]

Я придумал следующее: число k-мерных подпространств в n-мерном выражается через число невырожденных матриц порядка n, k и n-k. А число невырожденных матриц порядка n выражается через число невырожденных матриц порядка n-1 и число прямых в n-мерном пространстве, которое мы кое-как знаем. Поэтому число невырожденных матриц можно посчитать по индукции.

А что понимается под унимодальностью?

[vdots.livejournal.com]

Ага.

Унимодальность --- что его коэффициенты неубывающие (до середины), а потом невозрастающие.

[posic.livejournal.com]

Ой.

[vdots.livejournal.com]

Ну то есть я придумал сейчас (или вспомнил?) вполне удовлетворительное объяснение (это с точностью до деления на нужную степень q и подстановки q^2 вместо q) характер sl_2-модуля (k-й симметрической степени неприводимого со старшим весом n-k).

Было бы занятно это ещё как-то понять. На уровне тех же клеток, или ещё как.

[posic.livejournal.com]

Да, это правильное объяснение, конечно. Потому что q-аналог числа сочетаний с повторениями.

[posic.livejournal.com]

А еще у k-й внешней степени неприводимого со старшим весом n-1 должен быть такой же характер.

[vdots.livejournal.com]

Ага, никуда не деться.