Лемма Накаямы для контрамодулей

[posic]

Если D -- конильпотентная коалгебра без коединицы (т.е. такая, что для любого d из D найдется i, такое что i-кратное итерированное коумножение от d равно нулю) и P -- контрамодуль над D, такой что отображение контрадействия Hom(D,P) -> P сюръективно, то P=0.

Comments

[calea-lactee.livejournal.com]

прелестно

[xvoid.livejournal.com]

Фигня, теория множеств лучше, разве забудешь красоту: Гомоморфный образ группы изоморфен фактор-группе по ядру гомоморфизма.

[posic.livejournal.com]

Теорема о гомоморфизме -- это алгебра, а не теория множеств :)

[xvoid.livejournal.com]

Точно, виноват :-) , для меня это пять жизней назад, группы, кольца, поля...

liubopytno

[piont.livejournal.com]

A chto takoe "i-кратное итерированное коумножение от d равно нулю"?
T.e., ehto "standard" ili "Capelly" co-identity?
I kak voobshche ehtoi dokazatj?....

PS co-Bernside co-problem

[piont.livejournal.com]

Verno li, chto v co-nilponetnoj koalgebre ljubaja konechno porozhdennja pod-koalgebra konechnomerna?

Re: PS co-Bernside co-problem

[posic.livejournal.com]

Любая коассоциативная коалгебра является объединением своих конечномерных подкоалгебр, это такой несложный факт. Поэтому, кстати, теория коалгебр и ко(контра)модулей оказывается намного проще, чем теория колец и модулей.

Двойственное векторное пространство к конечномерной коалгебре является конечномерной алгеброй (и наоборот). Коалгебра (без единицы) конильпотентна, если любая ее конечномерная подкоалгебра двойственна к нильпотентной конечномерной алгебре.

pochemu ?

[piont.livejournal.com]

Извините, непонятно --- почему
"любая коассоциативная коалгебра является объединением своих конечномерных подкоалгебр"?
Разве в свобоdной 1-порожденной коалгебре есть конечномерные под-коалгебры?
Что ехто вообшче такое --- подкоалгебра?

Re: pochemu ?

[posic.livejournal.com]

Подкоалгебра D в коалгебре C -- это такое векторное подпространство, что коумножение от D попадает в D\otimes D внутри C\otimes C. Подкоалгебры в коалгебрах соответствуют двусторонним идеалам в алгебрах. Например, можно рассмотреть коалгебру многочленов от одной переменной x (она же косвободная коалгебра с одной кообразующей) с коумножением x^n\mapsto \sum_{i+j=n} x^i\otimes x^j. Тогда для любого n линейная оболочка 1,x,...,x^n является подкоалгеброй, как очевидно. Двойственное векторное пространство к этой коалгебре является алгеброй формальных степенных рядов k[[y]] от одной переменной y=x^*, а ортогональное подпространство к описанной подкоалгебре есть идеал y^{n+1}k[[y]].

Re: pochemu ?

[posic.livejournal.com]

Или, лучше сказать, подкоалгебры в коалгебрах соответствуют факторалгебрам алгебр. Подкоалгебра с базисом 1,x,...,x^n в коалгебре многочленов от x соответствует факторалгебре k[[y]]/(y^{n+1}) алгебры k[[y]].

Re: pochemu ?

[piont.livejournal.com]

Spasibo!

Re: liubopytno

[posic.livejournal.com]

i-кратное итерированное коумножение -- это отображение C -> C\otimes C\otimes ... \otimes C (i раз), соответствующее отображению i-кратного умножения A\otimes A\otimes ... \otimes A -> A для ассоциативных алгебр. То есть i-кратное коумножение равно нулю -- это котождество, соответствующее тождеству x_1...x_i=0.

Re: liubopytno

[piont.livejournal.com]

Da, konechno! izvinite za glupyj vopros -- ne privyk k associativnym koalgebram...