Место категорий контрамодулей в рамках общей теории категорий

[posic]

"Категории модулей = (приблизительно) = абелевы категории Гротендика с достаточным количеством проективных объектов"

Равенство, в самом деле, довольно приблизительное; точнее было бы сказать, что категории модулей -- это абелевы категории Гротендика, допускающие одну компактную проективную образующую. Когда есть множество компактных проективных образующих -- это категория модулей над "большим кольцом" ( = аддитивных функторов из какой-то (пред)аддитивной категории в абелевы группы). Не знаю, насколько в таком виде это уже буквально верно, или надо еще какие-то условия добавить; но похоже, что близко к верному.

"Категории контрамодулей = (приблизительно) = абелевы λ-гротендиковы категории с достаточным количеством проективных объектов"

Здесь λ -- какой-то (лучше предполагать, что регулярный) кардинал; λ-гротендикова категория -- это абелева категория с множеством образующих, в которой существуют все прямые пределы, и точны функторы λ-направленных прямых пределов. (В частности, абелева категория Гротендика в обычном смысле -- это абелева ω-гротендикова категория, где ω обозначает счетную мощность.)

Current mood: не зря съездил в Брно!

P.S. Второе равенство тоже очень приблизительно, конечно. Скажем, в категориях контрамодулей над топологическими кольцами отображение из прямой суммы любого набора проективных объектов в их прямое произведение всегда инъективно. Ниоткуда, кажется, не следует, что подобным свойством должны обладать любые λ-гротендиковы/локально представимые абелевы категории с достаточным количеством проективных объектов. (Двойственное условие -- чтобы отображение из прямой суммы набора инъективных объектов в их прямое произведение было сюръективным -- почитай, для одних только категорий, противоположных к естественно встречающимся, и бывает выполнено.)

Comments

[posic.livejournal.com]

Здесь имеются в виду категории контрамодулей над топологическими кольцами (включающие категории модулей как частный случай, когда кольцо дискретно). Категории контрамодулей над коалгебрами над полями они тоже включают как частный случай (когда топологическая алгебра над полем проконечномерна = топологически двойственна к дискретной коалгебре).