Некоммутативная рациональная теория гомотопий

[posic]

Как известно, бар-кобар двойственность устанавливает эквивалентность между категорией аугментированных DG-алгебр, к которой добавлены формально обратные морфизмы к квазиизоморфизмам, и категорией конильпотентных DG-коалгебр, к которой добавлены формально обратные морфизмы к фильтрованным квазиизоморфизмам.

Рациональная теория гомотопий (допускающая в максимальной общности пространства с нильпотентной фундаментальной группой) есть эквивалентность между категорией аугментированных коммутативных DG-алгебр с когомологиями в положительных когомологических степениях, с обращенными квазиизоморфизмами, и категорией конильпотентных DG-коалгебр Ли, сосредоточенных в неотрицательных когомологических степенях, с обращенными квазиизоморфизмами (над полем характеристики нуль).

Некоммутативная рациональная теория гомотопий есть эквивалентность между категорией аугментированных DG-алгебр с когомологиями в положительных когомологических степенях, с обращенными квазиизоморфизмами, и категорией конильпотентных DG-коалгебр, сосредоточенных в неотрицательных когомологических степенях, с обращенными квазиизоморфизмами.

Таким образом, чтобы вывести некоммутативную рациональную теорию гомотопий (третий абзац) из бар-кобар двойственности для DG-алгебр и конильпотентных DG-коалгебр (первый абзац), нужно показать, что обращение фильтрованных квазиизоморфизмов между конильпотентными DG-коалгебрами приводит к обращению всех (не обязательно а приори фильтрованных) квазиизоморфизмов между конильпотентными DG-коалгебрами, сосредоточенными в неотрицательных когомологических степенях.

Comments

[vvagr.livejournal.com]

Начал читать "Как известно, бар-кобар ..." и подумал - вот что переезд в Израиль делает с математиками.

Не могу удержаться, сорри.

[posic.livejournal.com]

Помнится, лет двадцать с лишком тому назад нынешний юзер chaource мне говорил, что словосочетание "бар-конструкция" (как и все слова с приставкой бар- ) сильно ассоциируются с чем-то еврейским.

На самом деле, как говорят, бар- здесь этимологически означает то же самое, что русское слово "бар" и английское bar. Какой-то, должно быть, американский классик топологии (Адамс?) произвел название своей конструкции от прутьев решетки бара, за которой бутылки стоят.

Потому что по традиции, заведенной этим отцом-основателем, знаки тензорного произведения в этой конструкции обозначались тогда вертикальными палочками, типа ( a | b | c | d).

[vvagr.livejournal.com]

Может быть всё же предположим, из уважения к топологу, что он имел в виду прямо значение "черта" или "штрих", которое тоже есть в словарях?

[posic.livejournal.com]

Да, действительно. Не знаю, правда, что неуважительного по отношению к топологу в том или ином предположении, но вполне возможно. Тем более, что я в любом случае не более, чем пересказываю слухи. К тому же, если воспользоваться интернетом, то оказывается, что Адамс -- англичанин.

[aron-turgenev.livejournal.com]

Очень естественно. А как разложение Постникова описать?

[posic.livejournal.com]

Это (ко)каноническая фильтрация на конильпотентной DG-коалгебре. Поскольку DG-коалгебра неотрицательно когомологически градуирована, фильтрация возрастающая. В некоммутативной ситуации комультипликативная структура имеется только на начальных отрезках этой фильтрации (соответствующих пространствам, у которых первые несколько гомотопических групп, как у данного, а высшие -- нули). Как я понимаю, это базы расслоений в башне Постникова.

Чтобы построить слои башни Постникова (пространства, у которых высшие гомотопические группы, как у данного, а несколько нижних -- нули), нужно перейти к коядру морфизма DG-коалгебр Ли (чего с коассоциативными DG-коалгебрами разумным образом сделать, думаю, нельзя).

В целом же вся эта фильтрация, если ее правильно строить, оказывается согласованной с коумножением, т.е. это такая комультипликативная возрастающая фильтрация (двойственная сущность к мультипликативной убывающей фильтрации на кольце). Эта фильтрация играет ключевую роль в рассуждениях, о которых я сейчас размышляю.

[udod.livejournal.com]

Я потерялся в какой точке возникла некоммутативность. Некоммутативность в смысле фунд группы? Апд. Понял. Здорово. Всегда думал что коммутатиность это рациональность.

[posic.livejournal.com]

Да, некоммутативность в смысле замены пары двойственных операд Com-Lie на Ass-Ass. И при этом от базового поля характеристики нуль можно перейти к произвольному базовому полю.

[udod.livejournal.com]

Все понял. Сейчас тупо смотрю на самозаржение из комбинаторной грязи ожерелий K(Q,2). Вот гадость ведь.

[notnef-566.livejournal.com]

Интересно было бы определить в "некоммутативном" случае смешанную структуру Ходжа на этом деле. Не уверен, что она будет обязательно единственной.

[posic.livejournal.com]

Это другая наука, некоммутативная теория мотивов. То, о чем пишет Гонсало Табуада и др. Ведь структуры Ходжа бывают на когомологиях алгебраических многообразий, что обобщается до некоммутативных алгебраических многообразий.

То же, о чем речь выше -- это некоммутативный аналог Com-Lie двойственности Квиллена, только сформулированный в максимальной общности в смысле нильпотентной фундаментальной группы (для каковой максимальной общности нужно с кольцом когомологий и кокольцом/коалгеброй Ли двойственных пространств к гомотопическим группам иметь дело). Никаких "топологических пространств", отдельных от "некоммутативных гомотопических типов", там нет, и тем более непонятно, что играло бы роль "многообразий".

У Табуады DG-алгебры и у меня DG-алгебры, это запутывает. Но у Табуады DG-алгебра -- это над которой DG-модули суть когерентные пучки на многообразии, а у меня DG-алгебра -- это которая когомологии своего пространства/гомотопического типа считает.

[notnef-566.livejournal.com]

Так можно же взять разложение Ходжа непосредственно самого гомотопического типа (Делинь-Гриффитс-Морган-Салливан для комплексного проективного алгебраического многообразия)? А если взять пополнение Мальцева фундаментальной группы, то, на нем должна быть, вероятно, и смешанная структура Ходжа.

[posic.livejournal.com]

На произвольном гомотопическом типе нет никакой структуры Ходжа. Структура Ходжа бывает на гомотопическом типе алгебраического многообразия.

[notnef-566.livejournal.com]

Да, конечно. Я же и написал, что алгебраическое. То есть понятно, что у вас именно произвольный гомотопический тип, а если, скажем, ограничиться только теми типами, которые происходят из алгебраических многообразий?

[posic.livejournal.com]

Так я же и написал, что непонятно, что должно играть роль алгебраических многообразий в этом контексте. Там нет даже никаких топологических пространств, есть только некоммутативные гомотопические типы.

[notnef-566.livejournal.com]

Да, действительно непонятно. Но все равно спасибо: тут есть над чем подумать.