К предыдущему

[posic]

Кстати, верный признак неграмотной и некомпетентной (хотя, возможно, и вполне содержательной) работы в современной гомологической алгебре -- это рефлекторная, автоматическая и безотносительная к существу конструкций и задач отсылка к Спалтенштейну, к "K-инъективным и K-проективным резольвентам".

На самом деле, работа Спалтенштейна очень важная, и из идей ее (которые автор скромно аттрибутирует Бернштейну) очень много чего в современной гомологической алгебре выросло. Но граждане, автоматически, "потому что так всегда делается", ссылающиеся на Спалтенштейновы резольвенты, делают это не потому, что понимают, зачем они нужны, -- а потому, что следуют общему подходу к гомологической алгебре как к закрытому списку универсальных рецептов и окончательных ответов на разные вопросы, которые нужно только применить один за другим в правильном порядке, чтобы получить решение своей задачи.

Граждане считают, что есть некая "проблема резольвент неограниченных комплексов", которая была раз и навсегда решена Спалтенштейном, так что если где есть неограниченные комплексы, то вот на этот случай имеется Спалтенштейнова конструкция, которой нужно пользоваться. Что на самом деле делает эта конструкция, зачем она нужна, какие есть возможные альтернативные подходы и какие из них в каких случаях имеет смысл использовать, граждане не осознают и осознать не пытаются.

Большинство из них, я думаю, вряд ли смогут объяснить, в чем, собственно, воображаемая ими "проблема резольвент неограниченных комплексов" состоит. Просто -- была там какая-то последняя проблема в гомологической алгебре, с неограниченными комплексами связанная, но ее Спалтенштейн решил. Сослаться, да и дело с концом.

Comments

[maxmornev.livejournal.com]

> какие есть возможные альтернативные подходы

Очень интересно, хотел бы научиться. Не подскажете, где их можно найти?

[posic.livejournal.com]

Ответ в виде двух ссылок: 1. мемуар Two kinds of derived categories ... , arXiv:0905.2621
2. приложение A к препринту Contraherent cosheaves, arXiv:1209.2995

Ответ в виде объяснения на пальцах: "проблема резольвент неограниченных комплексов" состоит в том, что один известный неограниченный с обеих сторон комплекс свободных проективных (= косвободных инъективных) модулей с одной (ко)образующей над внешней алгеброй с одной образующей (или над кольцом Z/4Z) ацикличен, но не стягиваем. Феномен возможен вследствие бесконечности гомологической размерности кольца, о котором идет речь.

Соответственно, фундаментальным образом есть, похоже, три возможности:
1. объявить некоторые комплексы проективных/инъективных объектов недостаточно проективными/инъективными (Спалтенштейн, Келлер -- "производные категории первого рода")
2. объявить некоторые ацикличные комплексы недостаточно ацикличными (Хинич, я, Краузе, Беккер -- "производные категории второго рода")
3. пользоваться функторами конечной гомологической размерности, для которых разница между 1. и 2. теряет свое значение (использовано в моем новом препринте про MGM двойственность)

Кроме того, есть смешанные/комбинированные/относительные варианты, когда рассматривается конструкция производной категории второго рода вдоль части переменных в кольце и первого рода вдоль остальных переменных (грубо говоря, 2. вдоль подкольца и 1. в направлении большого кольца относительно подкольца). Есть и варианты, смешивающие 1. или 2. с 3.

[maxmornev.livejournal.com]

Супер, спасибо большое!

> Феномен возможен вследствие бесконечности гомологической размерности кольца, о котором идет речь.

О, не подозревал об этом. Сижу, читаю A. Iacob, S. Iyengar, ``Homological dimension and regular rings'', и, вроде бы, начинаю понимать.

[magorsky.livejournal.com]

Правильно ли я понимаю, что проблема следующая: у нас есть категория комплексов; она фробениусова, если взять покомпонентно разщепимую точную структуру (я ученик Келлера, так что привык в таких терминах думать). Её стабильная - это гомотопическая категория, проективно-инъективные объекты - стягиваемые (прямые слагаемые конусов над тождественными отображениями, точнее говоря). В ней есть фробениусова подкатегория ацикличных комплексов. Если идемпотенты расщепимы, все стягиваемые ацикличны. Можно взять фактор Вердье гомотопической категории всех комплексов по гомотопической категории ацикличных. Хочется, чтобы это была локализация Бусфельда (или, то же самое, найти модельную структуру, где слабыми эквивалентностями были бы квази-изоморфизмы). Казалось бы, (левой) ортогональной подкатегории к ацикличным должна быть категория комплексов проективных объектов, и тогда её стабильная была бы эквивалентна нашему фактору Вердье. Но для этой эквивалентности требуется, чтобы пересечение ацикличных и их ортогонального дополнения лежало в проективных-инъективных, т.е. стягиваемых. Контрпример говорит, что это не так, и комплексы проективных не могут быть ортогональным дополнением. И тогда производная категория первого рода выбрасывает пересечение из комплексов проективных, давая честное ортогональное дополнение к ацикличным.
А производная категория второго рода - она вместо этого решает взять в качестве того, что мы хотим убивать, просто правую ортогональную подкатегорию к комплексам проективных, да? Ну и в других версиях - левую ортогональную к комплексам инъективных; пересечение правой ортогональной к комплексам проективных с левой ортогональной к комплексам инъективных. Так, да?

Про пункт 3 ничего не понятно, наверное, надо почитать препринт. Но всё же - какие функторы имеются ввиду? Откуда куда?

[posic.livejournal.com]

Примерно так, да. Хотя я не проверял, что абсолютно ацикличные комплексы -- это в самом деле пересечение правой ортогональной подкатегории к комплексам проективных (т.е., контраацикличных комплексов) с левой ортогональной подкатегорией к комплексам инъективных (т.е., коацикличных комплексов), но в первом приближении это похоже на правду.

Но на самом деле здесь речь идет о простых вещах совсем. Зачем нужны резольвенты? Чтоб производные функторы вычислять. Какие производные функторы? Да самые обыкновенные. Скажем, есть у вас точный слева функтор из одной абелевой категории в другую. Вы хотите его производный функтор к неограниченному комплексу применить.

Если просто сказать, мол, заменим его на квазиизоморфный комплекс инъективных объектов, выходит неоднозначность. Для ограниченных снизу комплексов квазиизоморфный (ограниченный снизу) комплекс инъективных объектов определен однозначно с точностью до гомотопической эквивалентности (которую любой аддитивный функтор переведет в гомотопическую эквивалентность), так что неоднозначности нет. Если же комплексы неограниченные, наш комплекс-контрпример оказывается инъективной резольвентой нулевого комплекса. К любой инъективной резольвенте любого комплекса можно этот комплекс-контрпример в качестве прямого слагаемого добавить, другая резольвента получится. А применить к этому ацикличному комплексу инъективных объектов точный слева функтор, так и выйдет комплекс с кучей нетривиальных когомологий.

Теперь представьте себе, что ваш точный слева функтор между абелевыми категориями -- имеет конечную гомологическую размерность. Ну, это значит, что его производный функтор, посчитанный на обычных объектах абелевой категории (комплексах, сосредоточенных в градуировке 0), зануляется в когомологических градуировках выше некоторой фиксированной.

Тогда вы вспоминаете, что вообще-то производные функторы можно не только с помощью инъективных резольвент вычислять. Ну, бывают такие "вялые пучки" (с помощью которых производный функтор глобальных сечений вычисляют), например, и так далее. В общем, попросту, на одиночном объекте производный функтор функтора F можно с помощью произвольных F-ацикличных резольвент вычислять (в смысле, составленных из объектов, на которых производный функтор функтора F зануляется в когомологических градуировках выше нуля).

Конечность гомологической размерности функтора F выражается теперь в том, что в инъективной резольвенте любого объекта все объекты коциклов, начиная с определенной когомологической градуировки, F-ацикличны (т.е. ее можно как бы оборвать, остановившись пусть не на инъективном, но на F-ацикличном объекте). Более того, в любой F-ацикличной правой резольвенте любого объекта все объекты коциклов, начиная с той же когомологической градуировки, будут F-ацикличны.

Ну вот, а теперь, чтобы применить производный функтор функтора F к неограниченному комплесу, вы просто заменяете его на квазиизоморфный комплекс F-ацикличных объектов. Такой комплекс, конечно, может быть ацикличным, но не стягиваемым с еще большей легкостью, чем неограниченный комплекс инъективных объектов. Но что за беда? Все объекты коциклов в таком комплексе тоже F-ацикличны (поскольку встречаются на сколь угодно далеких местах в F-ацикличных резольвентах более ранних объектов коциклов ). Это значит, что функтор F переводит такой комплекс в ацикличный. Вот, грубо говоря, и все.

Абелевы категории, конечно, можно на точные заменить (но тогда нужно чуть аккуратнее излагать).

[magorsky.livejournal.com]

Спасибо, изящно. Единственное, такое определение задаёт функтор между категориями первого рода, но неочевидно, что между категориями второго рода - мы видим, что F переводит aцикличный комплекс F-ацикликных объектов в ацикличный комплекс, но непонятно, почему (или при каких условиях) в коацикличный. Но, видимо, коацикличные комплексы как раз так определяются (если инъективных недостаточно), чтобы точный слева F переводил коацикличный комплекс F-ацикличных объектов в коацикличный? Всё равно непонятно, почему "разница теряет своё значение" - рассматриваются ведь функторы между разными категориями. Имеется ввиду, что для вычисления когомологий образа комплекса при произвольной версии функтора нет разницы, в какой из производных категорий живёт этот образ, т.е. куда этот функтор бьёт?

В точной категории у ацикличного комплекса коциклы корректно определены, так что в Вашем объяснении ничего, вроде, менять не надо.

[posic.livejournal.com]

Посмотрите в MGM-препринт, если хотите, там действительно все это написано.