![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКоалгебра C называется конетеровой слева, если всякий факторкомодуль конечно копорожденного левого C-комодуля конечно копорожден. Всякая артинова слева коалгебра является конетеровой слева, хотя обратное неверно (бесконечномерные кополупростые коалгебры конетеровы, но не артиновы).
Лемма. Пусть E -- конетерова слева коалгебра над полем k. Тогда для любого правого E-комодуля N и любого левого E-контрамодуля P естественное сюръективное отображение из тензорного произведения в контратензорное N⊗E*P → N⊙EP является изоморфизмом.
Доказательство. Для любой подкоалгебры D ⊂ E обозначим через ND максимальный подкомодуль E-комодуля N, являющийся D-комодулем, через DP максимальный факторконтрамодуль E-контрамодуля P, являющийся D-контрамодулем, и через D\P максимальный фактормодуль E*-модуля P, являющийся D*-модулем. Тогда тензорное произведение N ⊗E* P есть прямой предел тензорных произведений ND ⊗D* D\P по всем конечномерным подкоалгебрам D ⊂ E, а контратензорное произведение N ⊙E P есть прямой предел тензорных произведений ND ⊗D* DP по тем же конечномерным подкоалгебрам D. Поэтому достаточно показать, что D\P = DP.
Далее, имеем D\P = D*⊗E*P и DP = CohomE(D,P). Теперь остается представить конечно копорожденный левый E-комодуль D в виде ядра морфизма конечно копорожденных косвободных левых E-комодулей I → J, посчитать CohomE(D,P) как коядро морфизма CohomE(J,P) → CohomE(I,P), и отметить, что последний морфизм совпадает с морфизмом J*⊗E*P → I*⊗E*P, коядром которого является тензорное произведение D* ⊗E* P.
Следующий результат является целью этих двух постингов.
Следствие. Пусть E -- кокогерентная справа и конетерова слева коалгебра над полем k. Тогда контраплоская размерность конечного комплекса правых E-комодулей не превышает его проективной размерности.
Доказательство. Пусть B -- конечный комплекс правых E-комодулей. Тогда для любого конечно копредставимого правого E-комодуля M имеются естественные изоморфизмы HomE(B,M) = HomE(M*,B*) = (B⊙EM*)*, так что гомологическая размерность функтора контратензорного произведения с B на категории конечно порожденных левых E-контрамодулей не превышает гомологической размерности функтора Hom из B на категории правых E-комодулей.
Далее, согласно лемме функтор контратензорного произведения над E (для произвольных правых E-комодулей и левых E-контрамодулей) не отличается от функтора тензорного произведения над E*. Кроме того, свободные E-контрамодули суть прямые слагаемые прямых произведений копий E-контрамодуля E*; конетеровость слева коалгебры E влечет когерентность справа алгебры E*, из чего следует, что прямые произведения плоских левых E*-модулей плоски. Так что и производный функтор контратензорного произведения левых E-контрамодулей с B есть обычный Tor над Е*.
Наконец, в силу когерентности слева алгебры E* гомологическая размерность функтора Tor с комплексом B на (абелевой) категории конечно представимых левых E*-модулей совпадает с его гомологической размерностью на категории произвольных E*-модулей. Следствие доказано.
Лемма. Пусть E -- конетерова слева коалгебра над полем k. Тогда для любого правого E-комодуля N и любого левого E-контрамодуля P естественное сюръективное отображение из тензорного произведения в контратензорное N⊗E*P → N⊙EP является изоморфизмом.
Доказательство. Для любой подкоалгебры D ⊂ E обозначим через ND максимальный подкомодуль E-комодуля N, являющийся D-комодулем, через DP максимальный факторконтрамодуль E-контрамодуля P, являющийся D-контрамодулем, и через D\P максимальный фактормодуль E*-модуля P, являющийся D*-модулем. Тогда тензорное произведение N ⊗E* P есть прямой предел тензорных произведений ND ⊗D* D\P по всем конечномерным подкоалгебрам D ⊂ E, а контратензорное произведение N ⊙E P есть прямой предел тензорных произведений ND ⊗D* DP по тем же конечномерным подкоалгебрам D. Поэтому достаточно показать, что D\P = DP.
Далее, имеем D\P = D*⊗E*P и DP = CohomE(D,P). Теперь остается представить конечно копорожденный левый E-комодуль D в виде ядра морфизма конечно копорожденных косвободных левых E-комодулей I → J, посчитать CohomE(D,P) как коядро морфизма CohomE(J,P) → CohomE(I,P), и отметить, что последний морфизм совпадает с морфизмом J*⊗E*P → I*⊗E*P, коядром которого является тензорное произведение D* ⊗E* P.
Следующий результат является целью этих двух постингов.
Следствие. Пусть E -- кокогерентная справа и конетерова слева коалгебра над полем k. Тогда контраплоская размерность конечного комплекса правых E-комодулей не превышает его проективной размерности.
Доказательство. Пусть B -- конечный комплекс правых E-комодулей. Тогда для любого конечно копредставимого правого E-комодуля M имеются естественные изоморфизмы HomE(B,M) = HomE(M*,B*) = (B⊙EM*)*, так что гомологическая размерность функтора контратензорного произведения с B на категории конечно порожденных левых E-контрамодулей не превышает гомологической размерности функтора Hom из B на категории правых E-комодулей.
Далее, согласно лемме функтор контратензорного произведения над E (для произвольных правых E-комодулей и левых E-контрамодулей) не отличается от функтора тензорного произведения над E*. Кроме того, свободные E-контрамодули суть прямые слагаемые прямых произведений копий E-контрамодуля E*; конетеровость слева коалгебры E влечет когерентность справа алгебры E*, из чего следует, что прямые произведения плоских левых E*-модулей плоски. Так что и производный функтор контратензорного произведения левых E-контрамодулей с B есть обычный Tor над Е*.
Наконец, в силу когерентности слева алгебры E* гомологическая размерность функтора Tor с комплексом B на (абелевой) категории конечно представимых левых E*-модулей совпадает с его гомологической размерностью на категории произвольных E*-модулей. Следствие доказано.
