Коалгебры артиновы, конетеровы и кокогерентные - 2

[posic]

Коалгебра C называется конетеровой слева, если всякий факторкомодуль конечно копорожденного левого C-комодуля конечно копорожден. Всякая артинова слева коалгебра является конетеровой слева, хотя обратное неверно (бесконечномерные кополупростые коалгебры конетеровы, но не артиновы).

Лемма. Пусть E -- конетерова слева коалгебра над полем k. Тогда для любого правого E-комодуля N и любого левого E-контрамодуля P естественное сюръективное отображение из тензорного произведения в контратензорное N⊗_E*P → N⊙_EP является изоморфизмом.

Доказательство. Для любой подкоалгебры D ⊂ E обозначим через N_D максимальный подкомодуль E-комодуля N, являющийся D-комодулем, через ^DP максимальный факторконтрамодуль E-контрамодуля P, являющийся D-контрамодулем, и через D\P максимальный фактормодуль E*-модуля P, являющийся D*-модулем. Тогда тензорное произведение N ⊗_E* P есть прямой предел тензорных произведений N_D ⊗_D* D\P по всем конечномерным подкоалгебрам D ⊂ E, а контратензорное произведение N ⊙_E P есть прямой предел тензорных произведений N_D ⊗_D* ^DP по тем же конечномерным подкоалгебрам D. Поэтому достаточно показать, что D\P = ^DP.

Далее, имеем D\P = D*⊗_E*P и ^DP = Cohom_E(D,P). Теперь остается представить конечно копорожденный левый E-комодуль D в виде ядра морфизма конечно копорожденных косвободных левых E-комодулей I → J, посчитать Cohom_E(D,P) как коядро морфизма Cohom_E(J,P) → Cohom_E(I,P), и отметить, что последний морфизм совпадает с морфизмом J*⊗_E*P → I*⊗_E*P, коядром которого является тензорное произведение D* ⊗_E* P.

Следующий результат является целью этих двух постингов.

Следствие. Пусть E -- кокогерентная справа и конетерова слева коалгебра над полем k. Тогда контраплоская размерность конечного комплекса правых E-комодулей не превышает его проективной размерности.

Доказательство. Пусть B -- конечный комплекс правых E-комодулей. Тогда для любого конечно копредставимого правого E-комодуля M имеются естественные изоморфизмы Hom_E(B,M) = Hom^E(M*,B*) = (B⊙_EM*)*, так что гомологическая размерность функтора контратензорного произведения с B на категории конечно порожденных левых E-контрамодулей не превышает гомологической размерности функтора Hom из B на категории правых E-комодулей.

Далее, согласно лемме функтор контратензорного произведения над E (для произвольных правых E-комодулей и левых E-контрамодулей) не отличается от функтора тензорного произведения над E*. Кроме того, свободные E-контрамодули суть прямые слагаемые прямых произведений копий E-контрамодуля E*; конетеровость слева коалгебры E влечет когерентность справа алгебры E*, из чего следует, что прямые произведения плоских левых E*-модулей плоски. Так что и производный функтор контратензорного произведения левых E-контрамодулей с B есть обычный Tor над Е*.

Наконец, в силу когерентности слева алгебры E* гомологическая размерность функтора Tor с комплексом B на (абелевой) категории конечно представимых левых E*-модулей совпадает с его гомологической размерностью на категории произвольных E*-модулей. Следствие доказано.