posic | Редукция коэффициентов в мотивах Артина-Тейта: заключение

Пусть теперь k -- кольцо дискретного нормирования с униформизующим элементом l, и r ≥ 1 -- натуральное число. Редуцированные точные категории F_k/l^r и F_k⁺/l^r строятся с помощью "точно консервативных" функторов (редукции по l^r плюс перехода к присоединенному градуированному фактору/забывания действия Γ) в следующие базовые точные категории: для точной категории F_k -- в декартово произведение расщепимой точной категории E_k/l^r и расщепимой точной категории конечно фильтрованных k/l^r-модулей c конечно-порожденными свободными присоединенными факторами; для точной категории F_k⁺/l^r -- в декартово произведение расщепимой точной категории E_k/l^r⁺ и расщепимой точной категории конечно фильтрованных k/l^r-модулей c (ко)свободными присоединенными факторами.

Теорема 1. а) Если основная гипотеза выполняется для точной категории F_k и естественные отображения Ext_{A_k⁺}¹(X,Y(1)) → Ext_{A_k/l^r⁺}¹(X/l^r,Y/l^r(1)) сюръективны для всех X, Y ∈ E_k⁰, то естественный функтор F_k/l^r → F_k/l^r является эквивалентностью точных категорий. Если при этом естественные отображения Ext_{A_k⁺}ⁿ(X,Y(n)) → Ext_{A_k/l^r⁺}ⁿ(X/l^r,Y/l^r(n)) сюръективны для всех X, Y ∈ E_k⁰ и n ≥ 1, то основная гипотеза выполняется и для точной категории F_k/l^r.

б) Если основная гипотеза выполняется для точной категории F_k⁺ и естественные отображения Ext_{A_k⁺}¹(X,Y(1)) → Ext_{A_k/l^r⁺}¹(X/l^r,Y/l^r(1)) сюръективны для всех X, Y ∈ E_k⁰⁺, то естественный функтор F_k⁺/l^r → F_k/l^r⁺ является эквивалентностью точных категорий. Если при этом естественные отображения Ext_{A_k⁺}ⁿ(X,Y(n)) → Ext_{A_k/l^r⁺}ⁿ(X/l^r,Y/l^r(n)) сюръективны для всех X, Y ∈ E_k⁰⁺ и n ≥ 1, то основная гипотеза выполняется и для точной категории F_k/l^r⁺.

в) Основная гипотеза выполняется для точной категории F_k/l^r⁺ тогда и только тогда, когда она выполняется для точной категории F_k/l^r.

г) Если естественные функторы F_k/l^r → F_k/l^r, F_k/l^s → F_k/l^s, F_k/l^r−s → F_k/l^r−s являются эквивалентностями точных категорий для некоторых натуральных r > s > 0, то для всех объектов X и Y ∈ F_k/l^r имеется естественная длинная точная последовательность Бокштейна

Ext_{F_k/l^s}ⁿ(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X,Y) → Ext_{F_k/l^r−s}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) → Ext_{F_k/l^s}ⁿ⁺¹(X/l^s,Y/l^s) →

д) Если естественные функторы F_k⁺/l^r → F_k/l^r⁺, F_k⁺/l^s → F_k/l^s⁺, F_k⁺/l^r−s → F_k/l^r−s⁺ являются эквивалентностями точных категорий для некоторых натуральных r > s > 0, то для всех объектов X и Y ∈ F_k/l^r⁺ имеется естественная длинная точная последовательность Бокштейна

Ext_{F_k/l^s⁺}ⁿ(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{F_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y) → Ext_{F_k/l^r−s⁺}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) → Ext_{F_k/l^s⁺}ⁿ⁺¹(X/l^s,Y/l^s) →

Пункт а) следующей теоремы является основным и самым трудным здесь результатом.

Теорема 2. а) Предположим, что характер χ mod l: Γ → (k/l)* аннулирует подгруппу Δ ⊂ Γ, естественные отображения Ext_{A_k⁺}¹(X,Y(1)) → Ext_{A_k/l^r⁺}¹(X/l^r,Y/l^r(1)) сюръективны для всех X, Y ∈ E_k⁰⁺, и точная категория F_k/l^t⁺ удовлетворяет основной гипотезе для некоторого фиксированного натурального t ≥ 1. Тогда естественный функтор F_k⁺/l^r → F_k/l^r⁺ является эквивалентностью точных категорий для всех натуральных r ≥ 1.

б) Если, дополнительно к предположениям пункта а), отображения Ext_{A_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y(n)) → Ext_{A_k/l^s⁺}ⁿ(X/l^s,Y/l^s(n)) сюръективны для всех X, Y ∈ E_k/l^r⁰⁺, n ≥ 1 и r > s > 0, то точные категории F_k/l^r⁺ удовлетворяют основной гипотезе для всех натуральных r, делящихся на t.