posic | Редукция коэффициентов в мотивах Артина-Тейта

Теперь, когда эквивалентность точных категорий F_k⁺/l^r = F_k/l^r⁺ установлена, мы можем закончить доказательство теоремы 2. Для всех натуральных r > s > 0, имеем естественный гомоморфизм из длинной точной последовательности

Ext_{F_k/l^s⁺}ⁿ(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{F_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y) → Ext_{F_k/l^r−s⁺}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) → Ext_{F_k/l^s⁺}ⁿ⁺¹(X/l^s,Y/l^s) →

в длинную точную последовательность

Ext_{A_k/l^s⁺}ⁿ(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{A_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r−s⁺}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) → Ext_{A_k/l^s⁺}ⁿ⁺¹(X/l^s,Y/l^s) →

для всех объектов X, Y ∈ F_k/l^r⁺ (см. постинг http://posic.livejournal.com/996551.html и последующие в этой серии). Ввиду леммы из постинга http://posic.livejournal.com/1002223.html , группы Ext в "больших" точных категориях F_k/l^t⁺ и A_k/l^t⁺ согласованы с таковыми же в "малых" точных категориях F_k/l^t и A_k/l^t. Нас будет интересовать частный случай пары объектов X ∈ E_k/l^r⁰⁺ и Y ∈ E_k/l^r⁰⁺(m) ⊂ F_k/^r⁺, и в особенности, X ∈ E_k/l^r⁰ и Y ∈ E_k/l^r⁰(m) ⊂ F_k/l^r.

Теперь если отображения Ext_{F_k/l^s⁺}ⁿ(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{A_k/l^s⁺}ⁿ(X/l^s,Y/l^s) и Ext_{F_k/l^r−s⁺}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) → Ext_{A_k/l^r−s⁺}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) являются изоморфизмами при n ≤ m, и при этом отображения Ext_{A_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r−s⁺}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) сюръективны при n = m, то отображения Ext_{F_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y) являются изоморфизмами при n ≤ m согласно 5-лемме. Поскольку мы предполагаем основную гипотезу для точных категорий F_k/l или F_k/l⁺, основная гипотеза для точных категорий F_k/l^r или F_k/l^r⁺ выводится простой индукцией по r.