![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЧто касается сюръективности отображения ExtFk/lr1(X/lr,Y/lr) → ExtFk/lr1(X/lr,Y/lr) или ExtFk+/lr1(X/lr,Y/lr) → ExtFk/lr+1(X/lr,Y/lr), то чтобы доказать ее намеченным в постинге http://posic.livejournal.com/1001831.html методом, нужно было бы как-то построить индуктивную систему объектов категорий Fk/ls или Fk/ls+, связанных с данным классом ExtFk/lr+1(X/lr,Y/lr).
По-видимому, для этого недостаточно иметь элемент проективного предела коядер, а нужен элемент проективного предела самих групп ExtFk/ls+1(X/ls,Y/ls). Возможность поднять наш элемент коядра отображения ExtFk+/lr1(X/lr,Y/lr) → ExtFk/lr+1(X/lr,Y/lr) до элемента такой проективной системы нельзя вывести, даже если предполагать, что в проективной системе коядер все отображения являются изоморфизмами.
Похоже, здесь нужно сделать дополнительное предположение, что характер χ, приведенный по модулю l (т.е., отображение χ mod l: Γ → (k/l)*) аннулирует подгруппу Δ ⊂ Γ. Тогда одномерный Γ-модуль над k/l, связанный с характером χ mod l, является прямым слагаемым перестановочного Γ/Δ-модуля над k (т.к. образ гомоморфизма χ mod l из компактной в дискретную группу -- конечная группа, состоящая из корней из единицы и поэтому имеющая порядок, не делящийся на характеристику поля k/l). Теперь сюръективность отображений ExtFk+/ln(X/l,Y/l) → ExtFk/l+n(X/l,Y/l) (где X ∈ Ek0+ и Y ∈ Ek0+(m) ⊂ Fk+) для n = 0 и n = m = 1 влечет их сюръективность для n = 1 и всех m (поскольку Ext1 между объектами чистого веса в категории Fk/l мультипликативно порождается Ext1 в весе 1 и Ext0).
После этого, предполагая отображение ExtFk+/l2(X/l,Y/l) → ExtAk/l+2(X/l,Y/l) инъективным, можно, используя (второй) гомоморфизм длинных точных последовательностей из постинга http://posic.livejournal.com/1001187.html , доказать сюръективность отображений ExtFk+/lr1(X/lr,Y/lr) → ExtAk/lr+1(X/lr,Y/lr) при всех r обычной индукцией по r. Т.е., этот аргумент для доказательства сюръективности на Ext1 в каком-то смысле "противоположен" аргументу для доказательства инъективности на Ext2 из предыдущего постинга (тот основан на пошаговом сведении к случаю r = ∞, а этот -- к случаю r = 1).
По-видимому, для этого недостаточно иметь элемент проективного предела коядер, а нужен элемент проективного предела самих групп ExtFk/ls+1(X/ls,Y/ls). Возможность поднять наш элемент коядра отображения ExtFk+/lr1(X/lr,Y/lr) → ExtFk/lr+1(X/lr,Y/lr) до элемента такой проективной системы нельзя вывести, даже если предполагать, что в проективной системе коядер все отображения являются изоморфизмами.
Похоже, здесь нужно сделать дополнительное предположение, что характер χ, приведенный по модулю l (т.е., отображение χ mod l: Γ → (k/l)*) аннулирует подгруппу Δ ⊂ Γ. Тогда одномерный Γ-модуль над k/l, связанный с характером χ mod l, является прямым слагаемым перестановочного Γ/Δ-модуля над k (т.к. образ гомоморфизма χ mod l из компактной в дискретную группу -- конечная группа, состоящая из корней из единицы и поэтому имеющая порядок, не делящийся на характеристику поля k/l). Теперь сюръективность отображений ExtFk+/ln(X/l,Y/l) → ExtFk/l+n(X/l,Y/l) (где X ∈ Ek0+ и Y ∈ Ek0+(m) ⊂ Fk+) для n = 0 и n = m = 1 влечет их сюръективность для n = 1 и всех m (поскольку Ext1 между объектами чистого веса в категории Fk/l мультипликативно порождается Ext1 в весе 1 и Ext0).
После этого, предполагая отображение ExtFk+/l2(X/l,Y/l) → ExtAk/l+2(X/l,Y/l) инъективным, можно, используя (второй) гомоморфизм длинных точных последовательностей из постинга http://posic.livejournal.com/1001187.html , доказать сюръективность отображений ExtFk+/lr1(X/lr,Y/lr) → ExtAk/lr+1(X/lr,Y/lr) при всех r обычной индукцией по r. Т.е., этот аргумент для доказательства сюръективности на Ext1 в каком-то смысле "противоположен" аргументу для доказательства инъективности на Ext2 из предыдущего постинга (тот основан на пошаговом сведении к случаю r = ∞, а этот -- к случаю r = 1).
