posic | Редукция коэффициентов в мотивах Артина-Тейта

Теорема 2. Если основная гипотеза выполняется для точной категории F_k/l, то она выполняется и для точной категории F_k/l^r.

Доказательство. Не используя пока никаких предположений об основной гипотезе, рассмотрим гомоморфизм длинных точных последовательностей из предыдущего постинга. Ввиду леммы 3.1(2) из статьи Mixed Artin-Tate motives..., примененной к точной категории F_k, согласно 5-лемме можно заключить, что отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) для X ∈ E_k⁰ и Y ∈ E_k⁰(m) ⊂ F_k является изоморфизмом при n = 0 ≤ m и мономорфизмом при n = 1. При этом для сюръективности этого отображения при n = m = 1 достаточно сюръективности отображения Ext_{A_k}¹(X,Y) → Ext_{A_k/l^r}¹(X/l^r,Y/l^r), а при n > m группа Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) зануляется.

Поэтому отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) является изоморфизмом для n = 0, а также для n = 1 ≥ m, и мономорфизмом для n = 1 при всех m. Таким образом, функтор F_k/l^r → F_k/l^r не только сохраняет и отражает точность троек (а также допустимые эпиморфизмы и мономорфизмы), но и является вполне строгим, причем в его образе лежат все объекты категории F_k/l^r, сосредоточенные не более, чем в двух последовательных компонентах фильтрации.

Далее, функтор забывания фильтраций индуцирует гомоморфизм из длинной точной последовательности

Ext_{F_k/l}ⁿ(X/l,Y/l) → Ext_{F_k/l^r+1}ⁿ(X/l^r+1,Y/l^r+1) → Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l}ⁿ⁺¹(X/l,Y/l) →

в длинную точную последовательность

Ext_{A_k/l}ⁿ(X/l,Y/l) → Ext_{A_k/l^r+1}ⁿ(X/l^r+1,Y/l^r+1) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l}ⁿ⁺¹(X/l,Y/l) →

для всех объектов X, Y ∈ F_k (см. постинг http://posic.livejournal.com/995400.html и утверждение 1 леммы из постинга http://posic.livejournal.com/1000410.html ). Нас будет интересовать частный случай пары объектов X ∈ E_k⁰ и Y ∈ E_k⁰(m) ⊂ F_k.

Будем доказывать сюръективность функтора F_k/l^r → F_k/l^r на объектах, сосредоточенных не более, чем в m + 1 последовательных компонентах фильтрации (или, что то же самое, сюръективность отображений Ext_{F_k/l^r}¹(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l^r}¹(X/l^r,Y/l^r) и инъективность отображений Ext_{F_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) для X ∈ E_k⁰ и Y ∈ E_k⁰(≤m) ⊂ F_k) сразу для всех r ≥ 1 возрастающей индукцией по m ≥ 1. База индукции (m = 1) у нас уже есть, так что ниже мы предполагаем m ≥ 2.

Из предположения индукции для m − 1 следует сюръективность отображений Ext_{F_k/l^s}²(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{F_k/l^s}²(X/l^s,Y/l^s) и инъективность отображений Ext_{F_k/l^s}³(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{F_k/l^s}³(X/l^s,Y/l^s) для X ∈ E_k⁰ и Y ∈ E_k⁰(m). Используя, наконец, основную гипотезу для точной категории F_k/l, можно сделать вывод о сюръективности отображения Ext_{F_k/l}²(X/l,Y/l) → Ext_{A_k/l}²(X/l,Y/l) и инъективности отображения Ext_{F_k/l}³(X/l,Y/l) → Ext_{A_k/l}³(X/l,Y/l). Из гомоморфизма длинных точных последовательностей выше теперь видно, что всякий элемент из ядра отображения Ext_{F_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) поднимается до элемента из ядра отображения Ext_{F_k/l^r+1}²(X/l^r+1,Y/l^r+1) → Ext_{A_k/l^r+1}²(X/l^r+1,Y/l^r+1).

Аналогично, предполагая отображение Ext_{F_k/l^r+1}²(X/l^r+1,Y/l^r+1) → Ext_{A_k/l^r+1}²(X/l^r+1,Y/l^r+1) инъективным для X ∈ E_k⁰ и Y ∈ E_k⁰(m) и используя еще раз сюръективность отображения Ext_{F_k/l}²(X/l,Y/l) → Ext_{A_k/l}²(X/l,Y/l), из гомоморфизма длинных точных последовательностей можно сделать вывод, что всякий элемент из коядра отображения Ext_{F_k/l^r}¹(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}¹(X/l^r,Y/l^r) поднимается до элемента из коядра отображения Ext_{F_k/l^r+1}¹(X/l^r+1,Y/l^r+1) → Ext_{A_k/l^r+1}¹(X/l^r+1,Y/l^r+1).