posic | Редукция коэффициентов в мотивах Артина-Тейта

Мы сохраняем обозначения и терминологию постинга http://posic.livejournal.com/1000074.html .

Теорема 1. Если основная гипотеза выполняется для точной категории F_k (см. также дополнительные предположения ниже), то она выполняется и для точной категории F_k/l^r.

Доказательство. Функтор забывания фильтраций индуцирует гомоморфизм из длинной точной последовательности

Ext_{F_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{F_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k}ⁿ⁺¹(X,Y) →

в длинную точную последовательность

Ext_{A_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k}ⁿ⁺¹(X,Y) →

для всех объектов X, Y ∈ F_k (см. ранний постинг http://posic.livejournal.com/992481.html и утверждение 1 леммы из предыдущего постинга http://posic.livejournal.com/1000410.html ).

Рассмотрим частный случай пары объектов X ∈ E_k⁰ и Y ∈ E_k⁰(m) ⊂ F_k. Согласно 5-лемме можно заключить, что отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) является изоморфизмом для n < m и мономорфизмом для n = m. При этом для сюръективности этого отображения при n = m достаточно сюръективности отображения Ext_{A_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r). А при n > m группа Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) зануляется.

Принимая во внимание, что, как мы знаем, отображение Ext_{A_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) сюръективно при n = m = 0 (см. лемму из черновика http://posic.livejournal.com/991804.html ) и предполагая дополнительно, что оно сюръективно при n = m = 1 (ср. Update внизу постинга по верхней ссылке), можно заключить, что отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) является изоморфизмом для n ≤ min(1,m) и мономорфизмом для n = 2.

Вспомним теперь, что функтор F_k/l^r → A_k/l^r разлагается в композицию точных функторов F_k/l^r → F_k/l^r → A_k/l^r, так что и отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) разлагается в композицию Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r). Из предыдущего абзаца (вместе с теоремой 3.1(2) из статьи Mixed Artin-Tate motives..., примененной к категории F_k/l^r) следует, что отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) является изоморфизмом для n ≤ 1 и мономорфизмом для n = 2 (при всех m).

Далее, заметим, что всякий объект категории F_k/l^r, по построению, допускает каноническую конечную фильтрацию с присоединенными факторами из своих полных точных подкатегорий E_k⁰(j)/l^r ⊂ F_k/l^r, эквивалентных, согласно утверждению 2 леммы из предыдущего постинга, полным точным подкатегориям E_k/l^r(j) ⊂ F_k/l^r, играющим аналогичную роль в точной категории F_k/l^r. Согласно лемме 3.2 из статьи Mixed Artin-Tate motives..., можно заключить, что функтор F_k/l^r → F_k/l^r является эквивалентностью точных категорий.

Теперь у нас есть длинная точная последовательность Бокштейна, связывающая группы Ext между любыми объектами, приходящими из F_k, в точных категориях F_k и F_k/l^r. Наконец, расширяя наши дополнительные предположения до того, чтобы отображение Ext_{A_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) было сюръективно для всех X ∈ E_k⁰, Y ∈ E_k⁰(m) и n = m, мы можем сделать вывод, что отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) является изоморфизмом для всех n ≤ m, что и требовалось.