![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicТеперь, научившись (до какой-то степени) проверять, что условия первого постинга http://posic.livejournal.com/996551.html этой серии выполнены в интересующей нас ситуации, опишем в первом приближении прямую конструкцию искомой "конечно-конечно-конечной" категорной последовательности Бокштейна.
Вторая стрелка индуцирована точным функтором hσ: Fστ → Fσ. Конструкции первой и третьей стрелок основаны на все той же лемме 4.5 (условия которой выполнены для функторов hτ и hσ согласно предположениям из постинга по ссылке).
Пусть имеется морфизм hτ(X) → hτ(Y) в категории Fτ. Тогда можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории Fστ, образы которых при функторе hτ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории Fτ. Квадрат из морфизмов в категории Fστ становится коммутативным после применения функтора hτ, откуда, по нашим предположениям, следует, что он коммутативен по модулю идеала морфизмов в Fστ, аннулируемых умножением на естественное преобразование σ. Умножая обе стрелки X' → Y и X → Y' на σ, получаем коммутативный квадрат с теми же вершинами в категории Fστ.
Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C аннулируются функтором hτ (здесь подразумеваются исходные морфизмы X' → Y и X → Y'), и следовательно, по предположению, умножением на σ. Поэтому наш новый квадрат (коммутативный после умножения двух ребер на σ) можно единственным образом дополнить стрелкой X → Y в категории Fστ так, чтобы коммутативность сохранилась. Первая стрелка на классах Ext степени 0 построена.
Отметим, что построенное отображение HomFτ(hτ(X),hτ(Y)) → HomFστ(X,Y) инъективно, поскольку всякий морфизм в категории Fστ, аннулируемый умножением на σ, аннулируется также функтором hτ. Далее, морфизм X → Y в категории Fστ лежит в образе отображения HomFτ(hτ(X),hτ(Y)) → HomFστ(X,Y) тогда и только тогда, когда к нему можно прикомпоновать допустимый эпиморфизм X' → X в категории Fστ так, чтобы композиция делилась на σ, и тогда и только тогда, когда к нему можно прикомпоновать допустимый мономорфизм Y → Y'' так, чтобы композиция делилась на σ. (Здесь снова нужно использовать предположение, что всякий морфизм в Fστ, аннулируемый умножением на σ, аннулируется функтором hτ.)
Отсюда следует эквивалентность двух формулировок последнего условия в постинге по ссылке (использовавшаяся уже нами в предыдущем постинге). Используя теперь само это условие, можно заключить, что морфизм X → Y в категории Fστ лежит в образе отображения HomFτ(hτ(X),hτ(Y)) → HomFστ(X,Y) тогда и только тогда, когда он аннулируется функтором hσ, т.е., построенный фрагмент длинной последовательности точен в члене HomFστ(X,Y).
Пусть имеется морфизм hσ(X) → hσ(Y) в категории Fσ. Снова можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории Fστ, образы которых при функторе hσ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории Fσ. Квадрат из морфизмов в категории Fστ становится коммутативным после применения функтора hσ, и следовательно, согласно обсужденному выше предположению, коммутативен в категории Fστ по модулю идеала морфизмов, приходящих из Fτ.
Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C аннулируются функтором hσ, и следовательно, приходят из морфизмов hτ(K) → hτ(Y) и hτ(X) → hτ(C) в категории Fτ. Разность двух композиций в квадрате морфизмов в категории Fστ тоже приходит из некоторого морфизма hτ(X') → hτ(Y') в категории Fστ. Вместе с образами точных троек K → X' → X и Y → Y' → C при функторе hτ, построенные три морфизма в категории Fτ образуют диаграмму из двух квадратов, один из которых коммутативен, а другой антикоммутативен. Такая диаграмма задает класс ExtFτ1(hτ(X),hτ(Y)) двумя двойственными способами, отличающимися знаком "минус". Третья стрелка на классах Ext степени 0 построена.
Вторая стрелка индуцирована точным функтором hσ: Fστ → Fσ. Конструкции первой и третьей стрелок основаны на все той же лемме 4.5 (условия которой выполнены для функторов hτ и hσ согласно предположениям из постинга по ссылке).
Пусть имеется морфизм hτ(X) → hτ(Y) в категории Fτ. Тогда можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории Fστ, образы которых при функторе hτ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории Fτ. Квадрат из морфизмов в категории Fστ становится коммутативным после применения функтора hτ, откуда, по нашим предположениям, следует, что он коммутативен по модулю идеала морфизмов в Fστ, аннулируемых умножением на естественное преобразование σ. Умножая обе стрелки X' → Y и X → Y' на σ, получаем коммутативный квадрат с теми же вершинами в категории Fστ.
Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C аннулируются функтором hτ (здесь подразумеваются исходные морфизмы X' → Y и X → Y'), и следовательно, по предположению, умножением на σ. Поэтому наш новый квадрат (коммутативный после умножения двух ребер на σ) можно единственным образом дополнить стрелкой X → Y в категории Fστ так, чтобы коммутативность сохранилась. Первая стрелка на классах Ext степени 0 построена.
Отметим, что построенное отображение HomFτ(hτ(X),hτ(Y)) → HomFστ(X,Y) инъективно, поскольку всякий морфизм в категории Fστ, аннулируемый умножением на σ, аннулируется также функтором hτ. Далее, морфизм X → Y в категории Fστ лежит в образе отображения HomFτ(hτ(X),hτ(Y)) → HomFστ(X,Y) тогда и только тогда, когда к нему можно прикомпоновать допустимый эпиморфизм X' → X в категории Fστ так, чтобы композиция делилась на σ, и тогда и только тогда, когда к нему можно прикомпоновать допустимый мономорфизм Y → Y'' так, чтобы композиция делилась на σ. (Здесь снова нужно использовать предположение, что всякий морфизм в Fστ, аннулируемый умножением на σ, аннулируется функтором hτ.)
Отсюда следует эквивалентность двух формулировок последнего условия в постинге по ссылке (использовавшаяся уже нами в предыдущем постинге). Используя теперь само это условие, можно заключить, что морфизм X → Y в категории Fστ лежит в образе отображения HomFτ(hτ(X),hτ(Y)) → HomFστ(X,Y) тогда и только тогда, когда он аннулируется функтором hσ, т.е., построенный фрагмент длинной последовательности точен в члене HomFστ(X,Y).
Пусть имеется морфизм hσ(X) → hσ(Y) в категории Fσ. Снова можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории Fστ, образы которых при функторе hσ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории Fσ. Квадрат из морфизмов в категории Fστ становится коммутативным после применения функтора hσ, и следовательно, согласно обсужденному выше предположению, коммутативен в категории Fστ по модулю идеала морфизмов, приходящих из Fτ.
Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C аннулируются функтором hσ, и следовательно, приходят из морфизмов hτ(K) → hτ(Y) и hτ(X) → hτ(C) в категории Fτ. Разность двух композиций в квадрате морфизмов в категории Fστ тоже приходит из некоторого морфизма hτ(X') → hτ(Y') в категории Fστ. Вместе с образами точных троек K → X' → X и Y → Y' → C при функторе hτ, построенные три морфизма в категории Fτ образуют диаграмму из двух квадратов, один из которых коммутативен, а другой антикоммутативен. Такая диаграмма задает класс ExtFτ1(hτ(X),hτ(Y)) двумя двойственными способами, отличающимися знаком "минус". Третья стрелка на классах Ext степени 0 построена.
