![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКак проверять условия на точные категории Fτ, Fσ и Fστ, перечисленные в предыдущем постинге? Для этого нам пригодятся предположения, что эти три точные категории можно получить с помощью процедуры редукции (или, точнее, некоторые следствия таких предположений, см. Update к http://posic.livejournal.com/992481.html ).
Пусть g: F → G и h: G → H -- два компонуемых точных функтора между точными категориями.
Лемма. а) Если на всякий/некоторый объект H есть допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего из F, то на него есть также допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего из G.
б) Если на всякий объект из G есть допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего из F, и через всякий допустимый эпиморфизм в H на объект, пришедший из F, можно пропустить образ допустимого эпиморфизма из F, то через всякий допустимый эпиморфизм в H на объект, пришедший из G, можно пропустить образ допустимого эпиморфизма из G. При этом если при пропускании образа допустимого эпиморфизма из F можно сделать третью стрелку тоже допустимым эпиморфизмом (в H), то то же можно сделать и при пропускании образа допустимого эпиморфизма из G.
в) Если на всякий объект из G есть допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего из F, и ко всякому морфизму в H из объекта, пришедшего из F, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из F, так чтобы результат разложился в композицию морфизма, пришедшего из F, и допустимого эпиморфизма в H, то ко всякому морфизму в H из объекта, пришедшего из G, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из G, так чтобы результат разложился в композицию морфизма, пришедшего из G, и допустимого эпиморфизма в H.
г) Если на всякий объект из G или H есть допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего из F, через всякий допустимый эпиморфизм в H на объект, пришедший из F, можно пропустить образ допустимого эпиморфизма из F, ко всякому морфизму в H из объекта, пришедшего из F, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из F, так чтобы результат разложился в композицию морфизма, пришедшего из F, и допустимого эпиморфизма в H, ко всякому морфизму в H между объектами, пришедшими из F, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из F, так чтобы получился морфизм, пришедший из F, и функтор hg отражает допустимые эпиморфизмы, то ко всякому морфизму в H между объектами, пришедшими из G, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из G, так чтобы получился морфизм, пришедший из G.
Доказательство: часть а) очевидна; докажем б). Пусть X → h(U) -- допустимый эпиморфизм в H. Подберем какой-нибудь допустимый эпиморфизм g(S) → U в G, и обозначим через Z расслоенное произведение hg(S) и X над h(U) в H. Тогда Z → hg(S) -- допустимый эпиморфизм в H; пропустим через него образ hg(T) → hg(S) подходящего допустимого эпиморфизма T → S в F. Теперь композиция g(T) → g(S) → U является допустимым эпиморфизмом в G, образ которого при функторе h разлагается в композицию hg(T) → Z → X → h(U), факторизуясь таким образом через исходный допустимый эпиморфизм X → h(U). При этом если hg(T) → Z -- допустимый эпиморфизм в H, то таковым является и композиция hg(T) → Z → X, поскольку Z → X -- допустимый эпиморфизм по построению.
Часть в): пусть h(U) → X -- морфизм в H. Подберем какой-нибудь допустимый эпиморфизм g(S) → U в G и рассмотрим композицию hg(S) → h(U) → X. По предположению, найдется допустимый эпиморфизм T → S в F, морфизм T → R в F и допустимый эпиморфизм hg(R) → X в H, такие что композиция hg(T) → hg(S) → h(U) → X равна композиции hg(T) → hg(R) → X. Теперь композиция морфизмов g(T) → g(S) → U доставляет искомый допустимый эпиморфизм в G, и g(T) → g(R) -- искомый морфизм в G.
Часть г): пусть h(U) → h(V) -- морфизм в H. Подберем какой-нибудь допустимый эпиморфизм g(S) → U в G и рассмотрим композицию hg(S) → h(U) → h(V). Тогда найдется допустимый эпиморфизм T → S в F, морфизм T → R в F и допустимый эпиморфизм hg(R) → h(V) в H, такие что композиция hg(T) → hg(S) → h(U) → h(V) равна композиции hg(T) → hg(R) → h(V). Согласно пункту б) (второе утверждение), через допустимый эпиморфизм hg(R) → h(V) можно пропустить образ какого-то допустимого эпиморфизма W → V из категории G при функторе h, причем таким образом, чтобы морфизм h(W) → hg(R) был допустимым эпиморфизмом в H.
Подберем какой-нибудь допустимый эпиморфизм g(Q) → W в G и рассмотрим композицию hg(Q) → h(W) → hg(R). Согласно предположению, найдется допустимый эпиморфизм P → Q в F, такой что композиция hg(P) → hg(Q) → hg(R) приходит при функторе hg из какого-то морфизма P → R в категории F. Поскольку морфизм hg(P) → hg(R) -- допустимый эпиморфизм (как композиция допустимых эпиморфизмов), допустимым эпиморфизмом является и морфизм P → R.
Пусть теперь N -- расслоенное произведение объектов T и P над R в категории F. Тогда композиция g(N) → g(T) → g(S) → U является допустимым эпиморфизмом в G, композиция образа которого при функторе h с исходным морфизмом h(U) → h(V) равна образу при функторе h композиции морфизмов g(N) → g(P) → g(Q) → W → V в категории G. Пункт г) доказан.
Пусть g: F → G и h: G → H -- два компонуемых точных функтора между точными категориями.
Лемма. а) Если на всякий/некоторый объект H есть допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего из F, то на него есть также допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего из G.
б) Если на всякий объект из G есть допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего из F, и через всякий допустимый эпиморфизм в H на объект, пришедший из F, можно пропустить образ допустимого эпиморфизма из F, то через всякий допустимый эпиморфизм в H на объект, пришедший из G, можно пропустить образ допустимого эпиморфизма из G. При этом если при пропускании образа допустимого эпиморфизма из F можно сделать третью стрелку тоже допустимым эпиморфизмом (в H), то то же можно сделать и при пропускании образа допустимого эпиморфизма из G.
в) Если на всякий объект из G есть допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего из F, и ко всякому морфизму в H из объекта, пришедшего из F, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из F, так чтобы результат разложился в композицию морфизма, пришедшего из F, и допустимого эпиморфизма в H, то ко всякому морфизму в H из объекта, пришедшего из G, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из G, так чтобы результат разложился в композицию морфизма, пришедшего из G, и допустимого эпиморфизма в H.
г) Если на всякий объект из G или H есть допустимый эпиморфизм из объекта, приходящего из F, через всякий допустимый эпиморфизм в H на объект, пришедший из F, можно пропустить образ допустимого эпиморфизма из F, ко всякому морфизму в H из объекта, пришедшего из F, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из F, так чтобы результат разложился в композицию морфизма, пришедшего из F, и допустимого эпиморфизма в H, ко всякому морфизму в H между объектами, пришедшими из F, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из F, так чтобы получился морфизм, пришедший из F, и функтор hg отражает допустимые эпиморфизмы, то ко всякому морфизму в H между объектами, пришедшими из G, можно прикомпоновать образ допустимого эпиморфизма из G, так чтобы получился морфизм, пришедший из G.
Доказательство: часть а) очевидна; докажем б). Пусть X → h(U) -- допустимый эпиморфизм в H. Подберем какой-нибудь допустимый эпиморфизм g(S) → U в G, и обозначим через Z расслоенное произведение hg(S) и X над h(U) в H. Тогда Z → hg(S) -- допустимый эпиморфизм в H; пропустим через него образ hg(T) → hg(S) подходящего допустимого эпиморфизма T → S в F. Теперь композиция g(T) → g(S) → U является допустимым эпиморфизмом в G, образ которого при функторе h разлагается в композицию hg(T) → Z → X → h(U), факторизуясь таким образом через исходный допустимый эпиморфизм X → h(U). При этом если hg(T) → Z -- допустимый эпиморфизм в H, то таковым является и композиция hg(T) → Z → X, поскольку Z → X -- допустимый эпиморфизм по построению.
Часть в): пусть h(U) → X -- морфизм в H. Подберем какой-нибудь допустимый эпиморфизм g(S) → U в G и рассмотрим композицию hg(S) → h(U) → X. По предположению, найдется допустимый эпиморфизм T → S в F, морфизм T → R в F и допустимый эпиморфизм hg(R) → X в H, такие что композиция hg(T) → hg(S) → h(U) → X равна композиции hg(T) → hg(R) → X. Теперь композиция морфизмов g(T) → g(S) → U доставляет искомый допустимый эпиморфизм в G, и g(T) → g(R) -- искомый морфизм в G.
Часть г): пусть h(U) → h(V) -- морфизм в H. Подберем какой-нибудь допустимый эпиморфизм g(S) → U в G и рассмотрим композицию hg(S) → h(U) → h(V). Тогда найдется допустимый эпиморфизм T → S в F, морфизм T → R в F и допустимый эпиморфизм hg(R) → h(V) в H, такие что композиция hg(T) → hg(S) → h(U) → h(V) равна композиции hg(T) → hg(R) → h(V). Согласно пункту б) (второе утверждение), через допустимый эпиморфизм hg(R) → h(V) можно пропустить образ какого-то допустимого эпиморфизма W → V из категории G при функторе h, причем таким образом, чтобы морфизм h(W) → hg(R) был допустимым эпиморфизмом в H.
Подберем какой-нибудь допустимый эпиморфизм g(Q) → W в G и рассмотрим композицию hg(Q) → h(W) → hg(R). Согласно предположению, найдется допустимый эпиморфизм P → Q в F, такой что композиция hg(P) → hg(Q) → hg(R) приходит при функторе hg из какого-то морфизма P → R в категории F. Поскольку морфизм hg(P) → hg(R) -- допустимый эпиморфизм (как композиция допустимых эпиморфизмов), допустимым эпиморфизмом является и морфизм P → R.
Пусть теперь N -- расслоенное произведение объектов T и P над R в категории F. Тогда композиция g(N) → g(T) → g(S) → U является допустимым эпиморфизмом в G, композиция образа которого при функторе h с исходным морфизмом h(U) → h(V) равна образу при функторе h композиции морфизмов g(N) → g(P) → g(Q) → W → V в категории G. Пункт г) доказан.
