![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКонструкция "конечно-конечно-конечной" точной последовательности Бокштейна, изложенная в предыдущих постингах, имеет один недостаток: она выдает точную последовательность групп Ext в трех редуцированных категориях Gτ, Gσ и Gστ между двумя объектами, приходящими из исходной категории F. Хотелось бы, однако, иметь такую точную последовательность для любых двух объектов категории Gστ -- пусть даже при дополнительных или иных предположениях, чем в построениях выше.
Цель этого постинга -- сформулировать (хотя бы пока в первом приближении) такие предположения относительно трех точных категорий Fτ, Fσ и Fστ, при которых группы Ext в этих трех категориях (между двумя объектами, приходящими из Fστ) увязывались бы в длинную точную последовательность. Предположения эти не зависят ни от какой конструкции редукции точных категорий, а принимают все три категории (плюс требуемые дополнительные структуры на них) за исходную данность.
Пусть Fτ, Fσ и Fστ -- три точные категории, снабженные двумя точными функторами hτ: Fστ → Fτ и hσ: Fστ → Fσ, отражающими допустимые мономорфизмы, допустимые эпиморфизмы и точные последовательности. Кроме того, мы хотим предполагать, что точные функторы hτ и hσ удовлетворяют
- условиям лемм 4.4-4.5 из статьи Artin-Tate motivic sheaves... (т.е., через всякий допустимый мономорфизм из образа объекта при функторе пропускается образ допустимого мономорфизма при функторе, и через всякий допустимый эпиморфизм на образ объекта пропускается образ допустимого эпиморфизма);
- похожему условию на морфизмы между двумя приходящими объектами: ко всякому такому морфизму можно прикомпоновать (с очевидной стороны) образ допустимого мономорфизма, так чтобы получить приходящий морфизм, и (с другой стороны) образ допустимого эпиморфизма, так чтобы получить приходящий морфизм.
Далее, пусть на аддитивной категории Fστ заданы два эндоморфизма тождественного функтора (отметим, что такие эндоморфизмы образуют коммутативное кольцо k -- "центр категории" -- и вся категория является естественным образом k-линейной) σ и τ, причем их произведение-композиция στ -- нулевой эндоморфизм. Потребуем также, чтобы функтор hτ аннулировал все эндоморфизмы (делящиеся на) τ, а функтор hσ -- (на) σ. Наконец, нам понадобятся два более тонких условия: морфизм в категории Fστ
- аннулируется функтором hτ тогда и только тогда, когда он аннулируется умножением на σ;
- аннулируется функтором hσ тогда и только тогда, когда к нему можно прикомпоновать (с очевидной стороны) допустимый мономорфизм (в той же категории) так, чтобы композиция делилась на σ (как элемент k-модуля морфизмов между соответствующими двумя объектами) или тогда и только тогда, когда к нему можно прокомпоновать (с другой стороны) допустимый эпиморфизм так, чтобы композиция делилась на σ. Эквивалентность последних двух условий следует из предшествующих наших предположений.
В этих условиях хотелось бы построить для любых двух объектов X и Y ∈ Fστ естественную длинную точную последовательность
ExtFτn(hτ(X),hτ(Y)) → ExtFστn(X,Y) → ExtFσn(hσ(X),hσ(Y)) → ExtFτn+1(hτ(X),hτ(Y)) →
Цель этого постинга -- сформулировать (хотя бы пока в первом приближении) такие предположения относительно трех точных категорий Fτ, Fσ и Fστ, при которых группы Ext в этих трех категориях (между двумя объектами, приходящими из Fστ) увязывались бы в длинную точную последовательность. Предположения эти не зависят ни от какой конструкции редукции точных категорий, а принимают все три категории (плюс требуемые дополнительные структуры на них) за исходную данность.
Пусть Fτ, Fσ и Fστ -- три точные категории, снабженные двумя точными функторами hτ: Fστ → Fτ и hσ: Fστ → Fσ, отражающими допустимые мономорфизмы, допустимые эпиморфизмы и точные последовательности. Кроме того, мы хотим предполагать, что точные функторы hτ и hσ удовлетворяют
- условиям лемм 4.4-4.5 из статьи Artin-Tate motivic sheaves... (т.е., через всякий допустимый мономорфизм из образа объекта при функторе пропускается образ допустимого мономорфизма при функторе, и через всякий допустимый эпиморфизм на образ объекта пропускается образ допустимого эпиморфизма);
- похожему условию на морфизмы между двумя приходящими объектами: ко всякому такому морфизму можно прикомпоновать (с очевидной стороны) образ допустимого мономорфизма, так чтобы получить приходящий морфизм, и (с другой стороны) образ допустимого эпиморфизма, так чтобы получить приходящий морфизм.
Далее, пусть на аддитивной категории Fστ заданы два эндоморфизма тождественного функтора (отметим, что такие эндоморфизмы образуют коммутативное кольцо k -- "центр категории" -- и вся категория является естественным образом k-линейной) σ и τ, причем их произведение-композиция στ -- нулевой эндоморфизм. Потребуем также, чтобы функтор hτ аннулировал все эндоморфизмы (делящиеся на) τ, а функтор hσ -- (на) σ. Наконец, нам понадобятся два более тонких условия: морфизм в категории Fστ
- аннулируется функтором hτ тогда и только тогда, когда он аннулируется умножением на σ;
- аннулируется функтором hσ тогда и только тогда, когда к нему можно прикомпоновать (с очевидной стороны) допустимый мономорфизм (в той же категории) так, чтобы композиция делилась на σ (как элемент k-модуля морфизмов между соответствующими двумя объектами) или тогда и только тогда, когда к нему можно прокомпоновать (с другой стороны) допустимый эпиморфизм так, чтобы композиция делилась на σ. Эквивалентность последних двух условий следует из предшествующих наших предположений.
В этих условиях хотелось бы построить для любых двух объектов X и Y ∈ Fστ естественную длинную точную последовательность
ExtFτn(hτ(X),hτ(Y)) → ExtFστn(X,Y) → ExtFσn(hσ(X),hσ(Y)) → ExtFτn+1(hτ(X),hτ(Y)) →
